数学系2016届数学,信计专业毕业文答辩分组

更新时间:2024-02-15 作者:用户投稿原创标记本站原创 点赞:6613 浏览:21366

中学数学教学中问题导入的总结和分析

一、研究的现状

初中数学课堂教学无论采用何种教学方式,都是在不断提出问题,分析问题,解决问题的过程中展开的,因此问题设计的好坏直接影响到学生知识与技能的掌握,思维能力的提高,创新意识的培养,思想方法的运用以及身心的健康发展.数学问题的设计不是随意出现的而是教师精心创设的,没有有效的问题设计就不可能保证教学的效果和质量.目前数学问题设计大致存在着以下问题:

现状一:情景创设讲噱头

有的教师过于注重教学的情景化,出现了"情景创设讲噱头",情景创设低效或无效的情况,主要存在着以下几个方面的问题:

1.不新颖,不生动.整个问题情境的创设,只有老师的活动,缺少创新精神.比如:为了让学生线段,射线和直线的概念,无视于小学已有的基础,创设与小学类似的利用各种实物图片抽象概念的情景.

2.生搬硬套.创设情境没有针对学生的实际,因材施教.比如:为了让学生理解"定义"的重要性,在偏远山区的学校也创设一个让学生尝试地给出""的定义的问题情境.

3.没有启发性.创设的问题情境层次不高,没有很好把握教材的精神实质,有时张冠李戴,缺乏对学生具有启发性的东西.比如:在"倒数"教学中,设计望文生义的导入:"日常生活中很多东西可以倒过来,如人可以手倒立,杯子可以倒过来口朝下,猜一猜,倒数是什么",生:"倒数就是将数倒过来,如1的倒数还是1,8的倒数还是8,9倒过来变成6等",如此"情境"将数学问题引入了歧途.

4.缺乏针对性.创设的情境问题只是表面的,肤浅的,作用甚微,起不到促进学生全面发展的作用.比如:在教学有关银行利息问题时,创设如下情境:"过年了,同学们最喜欢的是什么""放鞭炮","走亲戚","玩个痛快"等学生就是不往压岁钱上说."老师小时候过年最喜欢的是得到压岁钱",没辙的教师只能自己说:"拿了压岁钱你会怎么办""交给妈妈","写学习用品","支援贫困地区上不起学的小朋友"等"老师认为存入银行也是个不错的主意,存银行有哪些好处"等为了引入利息问题,真是用心良苦.

5.追求表面热闹.有的老师上课,为了让更多的学生主动参与到课堂教学中,因此常设置一些选择做题的情景,学生们为了配合老师而似乎也参与到课堂中来了,但所起的作用不大.如:在《6.1探索平面上点的位置的确定》,为了巩固所学的知识,老师设计了四个灯笼,每个灯笼相应地链接了一个题,请一位同学选择一个灯笼,然后完成相应的题.这样的设计不仅只有四个学生参与,其他同学旁观,而且一个个同学站起来并选择地时间还是比较浪费的,所以表面看起来学生在主动参与,但实际所起的效率不高.

创设数学问题情景是《标准》中一个新的亮点.它使枯燥,抽象的数学知识更贴近学生的社会生活,符合学生的认知经验,使学生在生动有趣的情境中获得基本的数学知识的技能,体验学习数学的价值..好的情境设计能让学生在情境里感受数学,经历数学,体验数学,能在数学的学习过程中接受到智慧的挑战,享受解决问题之后喜悦.我们在日常生活中,要经常用数学的眼光去看待生活,用数学的头脑去发现有用的素材,从而在数学课堂中为学生撑起一片充满情趣,反映生活,具有挑战性的情境天空.

现状二:过程探究走过场

在实际的课堂教学中,"过程探究走过场"的情形存在还是比较多的,主要存在着以下几个方面的问题:

1.直接给概念下定义,而忽视概念之间的联系.有些教师对概念不重视或不理解,常常照本宣科.如:对三角函数的定义,有的老师这样设计:"同学们,请翻开课本,看合作学习",等,"看完了吧,有没有问题"停顿几秒,"没有问题的话,请看定义,并将定义背下来".在看书的过程学生根本懒得动手画图,测量,计算,对三角函数的这个概念只是被动的记忆接受,完全体会不到比值与角度之间的函数关系,因此这样的教学设计不利于学生对数学的理解.

2.直接应用法则定理,而忽视法则定理的导出.有些教师为了让学生多练习几个题,而想办法"省"下推导法则定理的时间.如:一元二次方程的求根公式,它的推导过程是用配方法解一元二次方程ax2+bx+c等于0,这个推导过程较为复杂,不仅化时较多,且并不是所有的学生都能理解,因此有较多的老师就把结果直接抛给学生记忆接受,然后是一大堆套用公式的习题.学生只是被动记忆接受,感觉公式是天外来客,很有抵触情绪,事实上大部分学生完全有能力自己推导,老师只要在关键时刻点拨一下,就能让学生的思维得到一次很好的提升.

3.直接规定"规定",而忽视"规定"的合理性.课本的各种"规定"有着许多不同的作用,但有些教师则常不加理解地强硬规定.如:在《二次根式》的概念学习中,老师常这样设计:象这样表示的算术平方根,且根号内含有字母的代数式叫二次根式,为了方便起见,我们把一个数的算术平方根(如:)也规定为二次根式.正是由于这一规定,混淆了式的概念,我们在学习单项式也曾规定单独一个数或字母也叫单项式,也即整式,所以单独一个数是有理式,而二次根式则是无理式,我们知道一个代数式不可能既是有理式又是无理式,正是因为规定了一个数的算术平方根也是二次根式才造成既是有理式又是无理式这样的混淆,作为老师,必须让学生知道这一规定的不合理性,而不能让学生"囫囵吞枣"地全盘接受.

4.

图1图2图3直接利用材料合作探究,而忽视合作的必要性.合作材料选择的合理才能进行有效的合作学习,但有些教师只是教"教书".如:八下《6.2菱形》的教材中有这样一个材料:合作学习:"观察以下由火柴棒摆成的图形,议一议:(1)三个图形都是平行四边形吗(2)与图(1)相比,图(2)与图(3)有什么共同特点有一些教师不加设计,直接把这个材料让学生合作,结果学生们两句话后就

开始聊天了,学习效率非常之低.因为这部分知识过于简单,第一个问题,人人都可根据平行四边形的定义作出正确的回答,而第二个问题则根据直观现象也能轻松地回答,既然人人都能回答的问题,还有必要进行合作学习吗

新课标实验教材的内容以问题情景,问题分析,结论导出,概括与归纳,探究与延伸等程序呈现,我们只有重视知识的发生发展过程,重视学生认知过程和情感体验过程,才能为学生构建丰富的学习环境.

现状三:例,习题功能单一化

1.例题讲解草草了之.有些老师认为例题在课本上已经有解答了,有的学生也已自学过了,所以讲不讲都无所谓,所以常会出现例题讲解草草了之的现象.而事实上,课本中的例题不仅具有典型性,而且还蕴含着不少思想方法,如果老师不去挖掘讲解这些思想方法,学生怎么可能理解呢,充其量只是会做题海中的一个小题而已,如此下去学生的解题能力怎么可能提升呢

2.习题讲解就题论题.老师在习题讲解中,只是就题论题,让学生只会做这一题,而不会做这类题,无怪乎学生会感慨"老师讲的时候,我都能听懂,但自己就是不会做".如:以AB为直径的圆的面积为s,ABBC,且AB等于BC,如图,两个阴影部分的面积分别为a,b,写出s与a,b的关系.老师用了两种方法来讲解这个习题,方法一是连结BD,则ABD的面积为a+b,所以s等于6a+2b,,方法二:,我们老师自以为这两种方法都非常巧妙,学生们肯定学会了,殊不知,若将A换成30度,则上述两种方法都不能解决.因此,在讲题时的目的不能只是会做一个题而已.

当然,问题设计中存在的问题远不止上面谈到的这些,有时会因为缺少知识的系统性,知识呈现的层次而使目标孤立,单一,有时会因为缺少各知识间的整合而使教学容量骤减等等.只有找到设计的问题所在,我们才能找到相应的对策,才能提升课堂教学的有效性.

二、研究的对策

对策1:设计生活化问题

初中学生对解应用题感到较难,原因是缺少与生活实际,社会实践的紧密联系,尤其是对数学例题的学习局限于课本"纯数学性"的表述,缺少具体生活背景的支撑,缺少数学与实际生活问题的关系,从而弱化了学生应用数学知识的能力.因此,对课本例题的生活背景不断地开发,创设一种生活情景,以学生关心的生活话题,关注的社会热点问题为背景,不仅能给例题的学习增添浓厚的趣味性,引发学生极大的学习热情,让例题在学生的脑海中扎根,有利于学生数学应用能力和创新能力的培养.

如:八上《6.1探索平面上点的位置的确定》,可将2016年的60周年国庆阅兵作为整节课的问题情景,从长安街上一个点的确定,方阵中某个士兵的位置的确定,机动雷达的构造到用经纬度确定北京等情景的设置,能有效的提升学生的学习乐趣.

对策2:设计趣味性问题

兴趣是最好的教师,因此数学问题情境的创设和表现形式必须新颖,奇特,生动,对学生要能产生吸引力,能激起学生对此事的关注和兴趣.因此,可以把教材中的内容,通过创设数学问题情境编成简短的故事讲给学生听,使学生产生身临其境的感觉,能够有效地调动学生学习的积极性,使学生全身心地投入到教学活动之中.

如:在七上《有理数的乘方》新课教学中,创设故事情境:在印度北部的佛教圣地贝那勒斯的圣庙里安放着一块黄铜板,上面插着三根宝石针,其中一根针从上到下放置了由小到大的64片金片,这就是所谓的梵塔,不论白天黑夜,都有一名僧侣把这些金片在三根针上移来移去,移动的法则是:每次只能移一片,并且不论哪根针上,小片永远在大片上面.印度教主梵天在创造世界时曾经预言,当所有64片都从他所放置的那根针上移到另一根针上时",世界末日"就来到了.检测定每移动一片需要1秒钟,那末"世界末日"将何时来呢这样的故事能强烈地激起学生的认知冲突,启发学生进行新的探索.学生讨论热烈,我适当进行了引导,先对简单的特殊情况进行分析:如果只有一片金片,那末一次就可以完成,二片需要3次完成,那3片呢我们可以这样考虑:先把上面二片移到第二根上,需要3次,再把最大的第三片移到第三根针,需要一次,再把第二根针上的二片移到第三根针上,也是3次,所以共需7次,同理,四片时共需要7+1+7等于15,五片时需要15+1+15等于31次,等通过观察学生发现这些数字有规律的:1等于21-1,3等于22-1,7等于23-1,15等于24-1,31等于25-1,那末移动n个全片需要2n-1次.那么",世界末日"到来的时间就是264-1等于365×24×60×60年,大约接近5849亿年,而现代科学认为整个太阳系的寿命无疑要短于200亿年,当然更是远远短于5849亿年.所以梵天所预言的那个"世界末日"决不会来临.学生在观察研究,分析的基础上,寻求共性,发现规律,然后对一般情况作出合乎情理的推断,预测.这样,既预热了"乘方"概念的最近发展区,调动了学生的学习积极性,又有利于培养学生的探索能力,有利于发展学生创造性思维.

对策3:设计实验型问题

动手操作实验能直接刺激大脑进行积极思维,它不但能帮助学生理解所学的概念,还能让学生通过亲身的实践真切感受到发现的快乐.因此,在数学教学过程中,我们教师应尽可能为学生提供概念,定理的实际背景,设计定理,公式的发现过程,让学生的思维能够经历一个从模糊到清晰,从具体到抽象,从直觉到逻辑的过程,再由直观,粗糙向严格,精确的上升过程.学生在对公式,定理的发现过程和总结论证中,提高了主动参与的机会,在"做数学"的过程中启迪了思维.

如:《等腰三角形》一课中,可设计如下的几个问题:(1)先让学生任意画一个ABC,画出过点A的角平分线,中线和高线,并比较同桌所画的上述三条线段的位置情况,(2)再画当AC等于BC时,观察上述三条线段会产生怎样的现象(3)在AC等于BC时,又让学生画腰上的角平分线,中线和高线,继续观察上述三条线段的情况,(4)能说出你的猜想吗通过类比,很多学生都能提出了较为完善的猜想"等腰三角形底边上的高线,中线,顶角的平分线互相重合".在这一过程中,学生借助了观察试验,归纳,类比以及概括经验事实并使之一般化和抽象化,形成猜想或检测设一系列过程.此时,不失时机地进一步提出问题:"为什么等腰三角形的这三条线段会重合在一起"再一次创设问题情境,激发学生主动探究说理的方法,从而验证猜想.

对策4:设计开放性问题

数学中的开放性问题解法多样,结果不唯一,在培养学生发散性思维,创新能力方面有很好的作用,对学生有很大的吸引力.当学生面对开放性问题时,往往思考不全面,使得问题解决无处着手或进行不下去,即便提出一个解决策略,也可能因为不同学生思维方式,知识背景的不同而思路完全不同,甚至产生不同的结论,而他们可能都认为自己的想法很有道理,进而形成争议,从而形成了合作学习内容的有效性.

如:在学完平行四边形的判定后,设计如下问题:已知四边形ABCD的对角线相交于O,从下列条件中任选两个加以组合,哪些组合能得出四边形ABCD是平行四边形的结论AB等于CD,②AB∥CD,③AD等于BC,④AD∥BC,⑤OA等于OC,⑥OB等于OD.这样的问题,难度不大,组合的方式也很多,学生的参与面广,课堂教学效果好.

对策5:设计探究性问题

数学探究活动,主要强调学生从已有生活经验出发,在动手操作的活动过程中学习,进而完成对知识的主动建构,数学探究活动往往发生在学生的头脑里,这就需要老师设计有效的问题,让学生经历"直观一感性认识一理性思考"的活动过程,在活动中"学会学习".

如:八上《2.6探索勾股定理》的学习中,可作如下设计:

图1图2图3图4

(1)如图1是我国古代《周髀算经》中的一个图形,图中的ABC是直角三角形,C等于Rt∠,分别AB,BC,CA为边向外作三个正方形,关于这个图形中的三个正方形的面积之间有怎样的关系由此,关于直角三角形的三边关系,你可以得出什么结论呢

(2)如果把刚才的图形放在图2正方形网格中,你认为正方形C的面积还是25吗你用什么方法可求得这个正方形的面积

(3)图3中的直角三角形也满足两直角边的平方和等于斜边的平方吗

(4)从前面得出的结论只是两个特例,这个结论在图4的直角三角形中也成立吗请证明你的结论.

问题设计的对策还有很多,如,故事型问题,发展性问题,幽默型问题,互逆型问题等.只要我们精心设计问题,认真组织实施,就能提高课堂教学效率,达到既能让学生掌握基础知识又能培养其创新精神和实践能力的目的.

三、对策的实施

我们针对初中数学问题设计中存在的问题,采用了下列方法将有效对策应用于课堂教学设计的实践之中.

(一)数学建模策略构建

浙教版数学教材的编排从现实的,有教学意义的情境问题出发,引入新内容,新思想,新方法,以"问题情境——数学活动(包括观察,实验,猜测,尝试,推理,交流,反思等)——概括(包括建立模型)——巩固,应用和拓展"的叙述模式呈现数学内容,使学生在解决数学问题的过程中学习,并形成解决问题的策略,理解数学的思想和方法,学会数学地思考.然学生在数学学习过程中,对数学知识缺乏自己有意义的建构,缺少与生活实际,社会实践的紧密联系,尤其是对数学例题的学习局限于课本"纯数学性"的表述,缺少具体生活背景的支撑,缺少数学与实际生活问题的关系,从而弱化了学生应用数学知识的能力.所以需对课本例题的生活背景不断地开发,创设,创设一种生活情景,以学生关心的生活话题,关注的社会热点问题为背景,不仅能给例题的学习增添浓厚的趣味性,引发学生极大的学习热情,让例题在学生的脑海中扎根,而且有利于学生数学应用能力和创新能力的培养.

案例1:创设生活化情景

原始材料:

(浙教版八上《7.5.2一次函数的应用》例2)小聪和小慧去某风景区游览,约好在"飞瀑"见面.上午7:00,小聪乘电动汽车从"古刹"出发,沿景区公路去"飞瀑",车速为36km/h.小慧也于上午7:00从"塔林"出发,骑电动自行车沿景区公路去"飞瀑",车速为26km/h.

(1)当小聪追上小慧时,他们是否已经过了"草甸"

(2)当小聪到达"飞瀑"时,小慧离"飞瀑"还有多少km

材料分析:

本例题是让学生建立函数模型解决实际问题,设计的重点是让学生如何主动建构函数模型而非被动建构.

设计呈现:

骆家庄

文一路10km

天目山路6km

武林广场

物美

6km

学军中学

2km例2:小明和小李星期天去杭州科技馆参观,约好在武林广场B2车站见面.早上8点,小明同学乘B2从骆家庄车站出发,沿文一路,教工路,天目山路去武林广场,车速为36km/h.早上8点,小李从翠苑物美超市,骑电动自行车,车速24km/h,沿着B2的路线,去武林广场.

(1)当小明追上小李时,他们是否已经过了"学军中学"

(思考:你能将该实际问题数学化吗

你能用几种方法解决问题)

(2)小明从文一路转弯进入教工路的时候,小李在哪儿呢

(3)8点10分两人大约相距多少距离谁在前谁在后8点20分的时候呢8点30分···

(思考:对于问题(2),(3)的解决你认为用哪种方法解决更有效

我们选择用一次函数来解决问题(2),(3),请问你们选择的变量是什么如果用S表示路程,t表示时间,他们各自的解析式分别是什么)

(4)小明到武林广场的时候,小李离武林广场大约还有多少距离呢

(思考:你会选择用哪种方式来解决图象法,解析法各有什么优缺点通过该问题的解决,你有什么体会)

设计解读:

1,创建熟悉的生活情景

"古刹,塔林,草甸,飞瀑"是较为优美的风景,但对杭州的学生和老师而言,该例题的情景都相当陌生,也不知道这些景点位于何地,优美的风景尤如空中楼阁,无法唤起学生的记忆,那当然也谈不上美的享受,反而让学生和老师在审题,解题时需要费时费力去多次反复看地图和题目才能记住它们前后顺序和距离,因此,将从"古刹"去"飞瀑"的路线改为从文一路去武林广场,让同学们不仅有熟悉感,身临其境感,更能节约时间,将"小聪和小慧"改为班里的两位同学"小明和小李",让同学们有主人翁感,将电动汽车改为同学上学要坐的杭州开通不久的快速公交B2,让同学们有亲切感.这样问题情景的创设,贴近学生的生活,紧跟时代步伐,使学生感受到了"身边的数学",从而对问题解决产生深厚的兴趣.

2,体验"生活数学化"

"你能将该实际问题数学化吗",引导学生用直的线段来简化复杂的地图,用字母A,B,C,D来代替各个地点,将弯的转化为直的,用线段来表示公路,用点来表示具体的地址等都不改变问题的本质,但经过抽象概括和符号化让同学充分享受到了数学的形式简约的魅力,从而对实际问题数学化有了深刻的体验.

学生学习数学化过程是将学生的数学现实进一步提高,抽象的过程.数学高度抽象性的特点,造成了数学的难懂,难学,难教,这就更需要学生经历感受,体验和思考过程,并用内心的体验与创造的方法来学习数学,只有学生通过自己的思考建立起自己的数学理解时,才能真正懂得数学,学好数学,而让学生经历数学化的活动过程,正是为学生感受,体验和思考提供了有效的途径.

3,引发学生主动探究

"你能用几种方法解决问题(1)",让学生从自身已有的知识和经验为基础主动构建知识,很自然地想到了用算术方法和方程来解决问题,但用同样方法去解决问题3时,将要列同样形式的算式或方程不断地重复计算,"你认为用哪种方法解决更有效"这促使学生主动思考是否可以利用函数图象的直观性来解决问题,从而建立函数模型解决问题.

将原材料的两个小问设计成四个小问,其中的1,4相当于原问题两个小问,而增加了2,3两个小问,目的就是让学生主动比较算术法,方程法和函数法的优劣,让学生在"新旧知识结合点"上产生的问题,根据已有的知识经验知道解决问题一些的方法,但又不能完全解决的问题,引起学生认知结构上的"不平衡",造成学生心理上的悬念,从而激发学生的认知冲突,唤起学生的求知,使他们产生积极思考的.

4,拓展学生思维容量

学生在解决该例题时思维容量较大,思维较为深刻:情景熟悉,用线段和字母表示后更为简洁,体会到一题多解的乐趣及三种方法的优缺点,用函数图象解决问题的方法,体验了数学化思想,方程思想,算术思想,数形结合思想,初步体验了数学建模的过程.注重数学思想方法的体验和解决问题时如何有效选择策略.

该例题的设计模式是"数学建模策略构建"式,具体如下:

解决

数形结合

建模

策略探究

数学化

数学问题

方程思想

函数方法

算术解法

实际问题

数学模型

数学的解(二)合理概括抽象过程

教科书中把大量的数学概念和原理整编成了一个系统.这样做的一大好处是学生能在短期内学完前人几个世纪才发展起来的东西,但另一方面也把学生暴露在危机之中.因为这么一来数学并不完全能由日常生活环境中直接得到,只能从教数学的老师处间接学到.在数学学习中,我们常看到有些学生尽管背了许多书上或老师告诉的概念,法则,定理,但对它却没有真正理解,在以后问题解决时也只能机械模仿,一遇到没见过的问题便陷入困境,不能创造性地解决

案例2:设计公式产生的背景

原始材料:

(浙教版七下数学《4.4二元一次方程组的应用》例题2)一根金属棒在0时的长度是qm,温度每升高1,它就伸长pm.当温度为t时,金属棒的长度L可用公式L等于pt+q计算.已测得当t等于100时,L等于2.002m,当t等于500时,L等于2.01m.

(1)求p,q的值,

(2)若这根金属棒加热后长度伸长到2.016m,问这时金属棒的温度是多少

材料分析:

本例题的教学目标是让学生了解待定系数法,并会列方程组求待定的系数.但学生不理解公式的意义,不能很好地区分哪些是待定的系数,哪些是未知数,因此本问题的设计首先是理解公式.

设计呈现:

绝大多数物质都有"热胀冷缩"的特性,这是由于物质内部分子热运动加剧或减弱造成的,这个性质在工程结构的设计中,在机械和仪器的制造中,在材料的加工(如焊接)中,都应考虑到,否则将影响结构的稳定性和仪表的精度.材料的线膨胀是材料受热膨胀时,在一维方向上的伸长.线膨胀系数p的意义为物体温度每升高1时其长度变化的比例,若物体0时的长度为L0,温度为t时的长度为L,则L等于L0(1+pt).

(1)现已知铜的线膨胀系数为1.7×10-5,一根铜在0的长度为1米,则长度L(米)与温度t()之间的关系可用公式L等于1.7×10-5t+1,你能根据公式计算出100时这根铜的长度吗

(2)小A也想知道某种金属棒的线膨胀系数.小A经实验发现,当t等于100时,这根金属棒的长度是2.002m,当t等于500时,这根金属棒的长度是2.01m.你能求出这根金属棒的线膨胀系数和在0时这根金属棒的长度吗若这根金属棒加热后长度伸长到2.016m,问这时金属棒的温度是多少

(3)设钢的线膨胀系数p等于1.1×10-5,一条在0时长为40km的铁路,其铁轨如果没有空隙,则温度升高10时其长度约增加多少若把这增加的长度"接"在赤道上,则地球的半径将增加多少

(4)你家中有哪些"热胀冷缩"的应用

设计解读:

该问题的设计,介绍公式的背景,增加了1,3,4三个小问,目的让学生对该知识有一个更为全面的理解.

1,呈现知识背景

问题应是基于真实世界与大众生活的生动性与现实性情境的设计,"热胀冷缩"是每位同学能感受到的一个生活现象,也是《科学》研究的一个知识点.该问题设计化了较大篇幅介绍了公式的背景,将数学,科学,生活联系在一起,搭起教材内容通向学生生活世界的桥梁,从而激发学生的探究热情和求知.

2,建构知识体系

问题1让学生在"热胀冷缩"原理的应用中理解字母的实际意义,从而能能准确理解公式的意义,并顺利解决问题2,从而形成待定系数法的知识,通过学生两个小问的设计,让学生将知识内化成个体的认知系统.

3,体验数学生活化

问题3的设计,让学生知道研究物体的线膨胀系数的必要性,能更有效帮助学生学运用数学语言去描述周围世界出现的数学现象,帮助学生体验数学在解决实际问题中的作用,体验数学与日常生活及其他科学的联系,将数学知识应用于日常生活和生产实践,体验数学的应用价值.

4,探究的延续性

"要使学生通过数学学习获得适应未来社会生活和进一步发展所必须的数学知识,数学思想方法和应用技能,发展勇于探索,勇于创新的科学精神".所以教师对学生学习绝不能仅仅停留在课堂上,让学生主动探究层递性知识,构建更有生命力,多方位的课堂体系.你家中有哪些"热胀冷缩"的应用如:家中铺木地板时需采取适当的措施预防木板的"热胀冷缩"现象等可让学生对知识有进一步的理解.

5,探究的知识增量

知道"线膨胀系数"及研究物体的线膨胀系数的必要性,理解公式的意义,了解待定系数法,会列方程组求待定的系数.

案例3:设计合理的概念形成过程

原始材料:

浙教版九下《1.1锐角三角形函数》合作学习:

(1)作一个30°的A,在角边上任意取一点B,作BCAC于点C.计算值,并将所得的结果与你的同伴作比较.

(2)作一个50°的A,在角边上任意取一点B,作BCAC于点C,量出AB,AC,BC的长度(精确到1mm).计算值,并将所得的结果与你的同伴作比较.通过上面两个实践操作,你发现了什么

(3)如图,B,B1是α一边上的任意两点,作BCAC于点C,作B1C1AC1于点C1.判断比值是否相等,并说明理由.

材料分析:

材料采用作图,测量,计算,比较,发现,证明几个步骤来说明三角函数定义的合理性和必要性,体现从特殊到一般的思想.但作图,测量存在误差,比值计算也很麻烦,同学们计算结果与准确值有较大差距,这些都影响着合作学习的效果.

设计呈现:

(1)含30°角的直角三角形的三边之间有怎样的比值长度关系45°呢

(2)30°角所对的直角边与斜边的比是,45°角所对的直角边与斜边的比是,那么比值,与三角形的边长的大小有关系吗为什么60°呢

(3)如图1,当B确定时,B所对的直角边与斜边的比会因为

三角形的边长的改变而改变吗为什么当B改变时,B

所对的直角边与斜边的比也会改变吗

(4)我们看计算器表面的sin键,这是什么计算呢先请你输入

sin30等于,结果是吗再输入sin45等于,结果是吗这与我们刚才所求的30°,45°角所对的直角边与斜边的比是一致的,这是巧合吗再任意输入一个角度试试看,我们发现都有唯一一个数值与它对应,它是函数吗是什么函数呢

设计解读:

本设计撇开了学生们不感兴趣的作图,测量等,而是从学生已有的含30°,45°角直角三角形的三边关系和相似三角形的知识入手,通过学生感兴趣的计算器键面按钮的研究来说明引入三角形函数概念的合理性和必要性.

1,以学生现有的认知为起点

初三学生对含30°,45°的直角三角形的三边关系早已熟知在心,相似三角形的判定与性质也已掌握,因此学生完全有能力利用相似三角形的知识来说明三角形的两边比值不变这一结论,如果再采用作图,测量,计算,比较结果这样的教学按排,则降低了学生已有的认知水平,学生们普遍不感兴趣.

2,合理铺垫,顺应知识迁移

在前面"30°,45°角所对的直角边与斜边的比不变"这一环节的铺垫下,学生们会能很自然地想:含有特殊角的直角三角形成立的结论在其它直角三角形中成立吗这里渗透着从特殊到一般的数学思想方法,这种从特殊到一般自然迁移,符合最近发展区理论利,学生们能用三角形相似来说明B所对的直角边与斜边的比的不变性.计算器计算结果与输入角度的一一对应,能自然地说明建立三角形函数概念的合理性和必要性.

3,基于学生兴趣的设计起点

初三学生对手头的计算器已经操作的非常熟练,他们经常会玩出一些新花样来,但一直不明白按钮上三角函数键的意义,将计算器键面内容与本节课的教学内容结合起来,引起了学生们合作探索的兴趣,它既激起了学生的好奇心,也解决了学生平时的困惑,增加了学生的学习兴趣.

(三)合理设计合作探究

一个数学问题,如果它本身就很简单,每个学生都能很快地得到结果,那就没必要进行探究学习.因此,要让学生进行合作学习,至少所设计的问题对学生而言要有一定的挑战性,独立解决起来比较困难,这时学生才会有强烈的合作,此时,教师及时地组织学生合作学习,学生之间的讨论将是积极的,尤其对那些正陷入困顿的学生,可能会从别的组员的发言中受到启发,茅塞顿开.还有一些学生可能是对问题本身没有弄清楚.在共同分析问题,不断发问,相互交流中,问题会变得越来越明晰,再加上教师参与过程中适当点拨,会使问题相对个人解决要容易许多.因此,可将教材内容适当设计,使问题涉及到的知识更综合一些,让学生实实在在地进入了"状态".

案例4:前置问题

原始材料:

浙教版七下《1.5三角形全等的条件(2)》合作学习:让我们动手做一做:用量角器和刻度尺画ABC,使AB等于4cm,BC等于6cm,ABC等于60°.将你画出的三角形和其他同学画的三角形进行比较,它们能互相重合吗

课内练习3:如果两个三角形有两边和一角对应相等,这样的两个三角形一定全等吗

材料分析:

本材料是根据学生所画三角形的唯一性来引出和验证"边角边"公理的合理性,但由于学生作图的不熟练,在课堂上化6分钟左右画图,相互比较也只是通过观察而已,这样的设计课堂化时较多但合作效果不明显,而课内练习3则让学生知道如果对应相等的这个角不"夹角",则两个三角形不一定全等,这两部分内容需要整合,因此需要寻求一种真正有效的合作方式.


设计呈现:

(1)提前一天布置课前作业:请你剪尽可能多的三角形,使它的两边分别4cm,6cm,一角为30°,并把数据表示在三角形相应的位置上.

(2)合作学习:请四人小组相互验证同学们所剪的三角形是否符合要求,并把三角形进行分类.

为什么符合条件的三角形不唯一

设计解读:

原材料中给出的数据能作出唯一一个三角形,而该设计则将条件开放,通过对所画三角形的不唯一来合作探究三角形全等的条件.

1,不同学生有不同的收获

在问题设计中没有将条件限制为边角边,并暗示学生符合条件的三角形不唯一但不知道有几个,这就给了学生充分发挥的空间:能力弱的学生能剪出一个三角形,能力强的学生不仅能剪出如图所示的四个三角形,而且能理性地分析为什么会有四个不同的三角形,进一步体验了成功学习的快乐.这一问题的设计能让每位同学都能体会成功,但成功的强度不同,这充分体现了新课程"让不同学生有不同的发展"的理念.

2,课堂讨论充分

将画三角形设计成剪三角形,便于学生相互比较,将剪三角形的任务放在课外完成,可让学生有充分的时间去思考和操作,省下了课堂画三角形的时间,课堂上交流的时间就相当充分,将合作学习和课内练习3有机地整合在一起,提高了思维容量,让学生通过争论,探究来说明要使两个三角形全等,对应相等的这个角必须是"夹角".

3,分散教学难点

我们经常在课堂上作出如图5这样的图形来说明根据"边边角"不能证明两个三角形全等,但有许多学生还是不能很好地理解,他们无法理解图中满足条件有两个三角形,但利用图3与图4这样两个看得见摸得着的三角形直接拿来叠合,则能让学生有更深刻的体会.

4,有序思考问题

要说清楚满足条件的三角形有且只有四个,则学生们必须理解有序性的思考方法:先确定三角形的边AB等于6cm,AC等于4cm,再分A等于30°,B等于30°,C等于30°三种情况,利用尺规作图就能画出四个不同的三角形.

案例5:循序渐进

原始材料:

浙教版八上数学《7.3一次函数》例2:按国家2006年1月1日起实施的有关个人所得税的规定,全月应纳税所得额(应纳税所得额:月工资(薪金)中,扣除国家规定的免税部分1600元后的剩余部分)不超过500的税率为5%,超过500元至2000元部分的税率为10%.

(1)设全月应纳税所得额为x元,且500<,x≤2000,应纳个人所得税为y元,求y关于x的函数解析式和自变量的取值范围,

(2)小明妈妈的工资为每月3400元,小聪妈妈的工资为每月3600元,问她俩每月应缴个人所得税多少元

材料分析:

本例题的教学目标:会根据数量关系求一次函数的解析式和会求一次函数的值.但材料中出现的专业术语和累进税率计算个人所得税的方法都让学生感到生疏,难理解,所以问题设计要突破这两个难点.

设计呈现:

例2:按国家2016年3月1日起实施的有关个人所得税的规定,全月应纳税所得额(应纳税所得额:月工资(薪金)中,扣除国家规定的免税部分2000元后的剩余部分)不超过500的税率为5%,超过500元至2000元部分的税率为10%.

(1)老师的月工资1800元,应缴个人所得税多少元若2400元呢

(2)同学A的妈妈应纳税所得额是1800元,应缴个人所得税多少元他爸爸的应纳税所得额是2400元,应缴个人所得税多少元

(3)设全月应纳税所得额为x元,且500<,x≤2000,应纳个人所得税为y元,则y与x的函数解析式是什么

(4)设全月应纳税所得额为x元,且0<,x≤2000,应纳个人所得税为y元,则y与x的函数解析式是什么

(5)设月工资为x元,且0<,x≤4000,应纳个人所得税为y元,则y与x的函数解析式是什么

(6)合作探究:同学B的妈妈每个月要交税是135元,你能求月工资是多少吗

(7)小C说,他希望他将来的月工资8000元,你能上网查找有关信息后帮他计算他应缴个人所得税多少元

设计解读:

本设计将原材料中的两个小问设计成七个小问,让学生通过问题的逐个呈现和解答,逐步理解了题中的专业术语和累进税率计算个人所得税的方法,并进一步理解了应纳个人所得税与全月应纳税所得额之间的关系,也能建立应纳个人所得税与月工资之间的函数关系.具体分析如下:

1,呈现最新的相关知识

课本例题中呈现的有关个人所得税的规定是按国家2006年1月1日起实施的标准,而2016年3月1日起又来了新的标准,因此在问题设计中呈现最新的相关知识能让学生体会到数学与生活息息相关.

2,层层深入分散难点

问题(1),(2)的设计,是让学生自己理解"应纳税所得额"的含义,并能根据具体情况计算个人所得税,从不需要交税到一段交税,再到分两段,三段交税的问题设计,随着一个个细小问题的层层深入,学生也一步步学会计算,并理解了累进税率计算个人所得税的方法,而问题(3),(4)的提出,则更进一步地将问题提升到了函数应用的层次上,在前面理解的基础上分析得出一个分段函数,知识难度大大提升,知识应用也有新的突破,问题(5)的设置,则从学生的生活经验出发,对"应纳税所得额"和"月工资"两个术语,学生对月工资更能理解,因此顺应于学生的思维模式,建立"个人所得税"与"月工资"之间的对应关系是一种同化学习,有利于学生建构新知识.这一连串的问题设计,体现了从特殊到一般,从具体到抽象,从感性到理性,由易到难,由浅入深的循序渐进的过程,构建了一个有层次的认知序列,分散了教学难点,也符合学生的"最近发展区",对学生而言虽有一定的难度,但还是有能力完成.

3,新知应用,再次提升

问题(6)的设计是已知个人所得税,反过去求月工资,它可以利用前面的建立的函数,先判断个人所得税对应的函数关系,再立方程解决,但在判断它属于哪一段函数的思维过程的思维容量较大,与前面研究的思维方式也正好相反,它从逆向思维的角度来再次理解累进税率计算个人所得税方法,让学生在探究进一步掌握相关知识.

4,课外延伸,拓展提高

问题(7)的设计,让学生自己去了解月工资在4000元以上的个人所得税的计算方法,使课堂上所学的知识得以延伸,完善.

上述案例只是众多实践之中较有典型的几个例子,关于几何中的变式教学的设计案例详见《对变式教学的再思考》(获2016年浙江省教学案例评比三等奖)

四、实施的体会

初中数学问题的有效对策的实施进行了为期两年的研究,也有了如下一些体会:

体会一:明确有效设计的特点

我们体会到要进行有效对策的研究,首先要明确有效设计的特点.有效设计是指在正式研究某个数学常规问题之前,根据数学问题的特点,按照一定的教学设计理论,用尽可能少的时间,精力和物力投入,解决产生知识逻辑与认知逻辑之间内部矛盾,让学生获得尽可能多的教学成果,从而完成特定的教学任务.它的特点有:

1.能突出教学的重点,难点或知识的热点,

2.能让学生明辨易混点,易错点,

3.能引发学生更深层次的思考或创新,

4.能让学生的思维容量有更多的增量,

5.能引导学生自主改变学习方式,

6.能展现并活化学生的思维过程,

7.能将封闭的题型转化为开放问题,

8.能让学生体会到数学的思想和方法.

体会二:遵守设计原则

要设计有效的对策,并不是由老师随心所欲地想出来,它必须遵守下列原则:

1.以学生为本的原则

学生是数学学习活动中的认知主体,知识只有在它与认知主体在建构活动中的行为相冲突或者相顺应时才被建构起来的.不同学生的认知系统是不完全相同的,在问题设计时,教师必须研究学生的知识结构与思维发展水平.在几何教学问题设计中,应在"原有水平"与"最近发展区"的结合点上,让学生的思维活动具有一定的可操作性,有效激发求知,主动寻找解决问题的策略,领会数学学习的方法,获得数学活动的体验.

2.重视思想方法的原则

数学思想方法以数学知识为载体,是数学知识发生过程中的提炼,抽象,概括和升华,是对数学规律更一般的认识.布鲁纳指出,掌握基本数学思想和方法能使数学更易于理解和记忆,领会基本数学思想和方法是通向迁移大道的"光明之路".几何的问题设计中,应在向学生展示获取知识,技能及解决问题的思维过程中,使其不断了解重要的思想方法,掌握数学最本质的属性,形成良好的思维品质.

3.展示思维过程的原则

充分暴露思维过程的教学是数学问题设计的重要原则.有效的问题设计应在课堂上充分展现数学思维的过程,展现概念的形成过程,展现结论的推导过程,展现方法的思考和形成过程,展现问题被发现的过程,展现规律被揭示的过程.使学生在学习中不但知其然而且知其所以然,以最大限度地提高它们的积极性和参与热情,从而形成良好的思维策略.

4.设计问题生活性的原则

教科书不是唯一的课程资源,应把数学作为人们日常生活中交流信息的手段和工具来学,数学应该是生活中必不可少的一部分,我们学的是有用的数学.课堂教学的问题设计,要从学生熟悉的生活环境中选取发生在学生身边的素材.

体会三:设计中要注意几点

1,注意了解数学学习的特点

现代数学学习观认为:学生学习数学是一个连续不断地同化新知识,构建新意义的过程,学生学习数学只有通过自身的操作活动和主动参与的做才可能是有效的,学生学习数学只有通过自身的情感体验,树立坚定的自信心才可能是成功的.所以,只有充分发挥学生的学习主动性,让学生自主活动,智力参与,个人体验,才能将所获得的新知识与己有知识经验建立实质性的联系,将新知识与原有的认知结构相互结合,通过纳入,重组和改造,构成新的认知结构,同时由于新知识成为结构中的一部分,就与结构中的其它部分形成有机联系,从而使新知识的意义在心理上获得了建构.

2,注意设计的几个有效性

现代主义教育观认变:数学教学是数学活动的教学.苏联数学家斯托里亚尔认为,数学教学是在数学领域内思维活动的教学,一是经验材料的数学组织化,即借助于观察,实验,归纳,类比,概括积累事实材料,二是数学材料的逻辑组织化,即从积累的材料中抽象出原始概念和公理体系,并在这些概念和体系的基础上演绎地建立理论.三是数学理论的应用,数学教学不仅要教给学生己发现的现成的数学理论,更重要的还要教给学生如何进行数学活动,教给学生如何像数学家那样去活动,那样去思维.因此教师在具体设计时要注意以下几点:

(1)目标达成的有效性

(2)主体参与的有效性

(3)知识建构的有效性

(4)学生发展的有效性

体会四:专家引领同伴互助

我们在实践的过程中,得到了特级教师的悉心指导,也从书本中学到了不少知识,并反思以往教学行为,形成了新的感悟.老师们在频繁的听课与评课中,在同伴互助中,渐渐地改善了自己的教学行为,能创设合理的情境,重视知识的产生过程,创设有利于学生合作的学习环境,注重了学生创造精神与实践能力的培养,尽可能满足了学生多方面的学习需求,促进了学生思维方式的转变.课堂中多了活力与生机,多了观点的碰撞与问题的多种解读途径,多了参与的主体和探索的快乐,尤其是年轻教师能更迅速地成长.

总之,我们要以新的理念为指导,"以立足教材,用活教材"为原则组织教学,发掘知识内容之间的隐形联系,对事物和现象进行多角度的"立体分析",实现课堂教学由学科能力向综合能力的转化,为学生的学习设一个崭新的舞台,使学生的素质得到全面的发展.