对口升学数学复习中的概率问题

摘 要：本文简明扼要说明了大纲对概率的要求,概率问题的题型和分值,对口招生考试数学考试中概率题目解题方法和解题步骤.

关 键 词：对口升学,数学复习,概率

《概率与统计初步》是中职数学基础（下）中的重要内容,概率问题在中职数学中越来越得到重视,也是近年对口升学数学考试中的热点.在数学基础（下）中重点介绍了等可能事件的概率（即古典概型）、条件概率、互斥事件有一个发生的概率、相互独立的事件同时发生的概率（包括n次独立重复试验）.对口招生考试数学考试中对概率的考查主要以大题形式出现,重点与分布列问题相结合,但始终离不开各种概率的求法.因此要让学生正确理解概率发生的条件,并掌握一些基本的概率“模型”及其解题方法.

一、中职数学教学大纲和对口升学数学考试大纲对概率的要求

《中等职业学校数学教学大纲》对概率的要求是：理解随机事件和概率,概率的简单性质,重点是概率、总体与样本的概念,用样本均值估计总体均值,用样本标准差估计总体标准差,及其运用概率、统计初步知识解决简单的实际问题.《2014年湖南省普通高等学校对口招生考试数学考试基本要求和考试大纲》对概率的要求是：理解随机事件和概率的概念,掌握概率的简单性质,能运用概率、统计初步的知识解决简单的实际问题.

二、近年来对口招生考试数学考试中概率问题的题型和分值

对口招生考试数学考试中概率题目的题型和分值相对稳定：2010年解答题第22题,8分,2011年解答题第21题,8分,2012年解答题第19题,10分,2013年解答题第21题,10分,2014年解答题第22题,10分.

三、对口招生考试数学考试中概率题目解法

1.公式法：概率部分有四个主要的公式（1）等可能事件发生的概率P（A）等于mn.

（2）互斥事件有一个发生的概率P（A+B）等于P（A）+P（B）.

（3）相互独立事件同时发生的概率P（AB）等于P（A）P（B）.

（4）独立重复试验概率公式P（kn）等于CknPk（1P）n-k,应用这些公式的关键在于正确理解公式成立的条件.

例1：（2010年对口升学考试试题）有A,B,C三批种子,发芽率分别是0.5,0.6,0.7,在这三批种子中各取1粒.（1）求3粒种子都发芽的概率.（2）求恰有1粒种子不发芽的概率.（3）设X表示取得的三粒种子中发芽种子的粒数与不发芽种子的粒数之差的绝对值,求X的分布列.

解：（1）记D为A,B,C三批种子各取1粒3粒种子都发芽

P（A）等于0.5P（B）等于0.6P（C）等于0.7

则P（D）等于P（A）P（B）P（C）等于0.50.60.7等于0.21

（2）记E为A,B,C三批种子各取1粒恰有1粒种子不发芽

则P（E）等于0.50.60.7+0.50.40.7+0.50.60.3

等于0.44

2.组合分析法：对于等可能的事件,我们可以利用组合分析法来计算其概率,其关键是寻求等可能事件的总数和事件的发生数.

例2：（2013年对口升学考试试题）从编号分别为1、2、3、4的四张卡片中任取两张,将它们的编号之和记为X.（1）求“X为奇数”的概率.（2）写出X的分布列,并求P（X≥4）.

解：（1）编号之和X为奇数,只能为一编号数为奇数,一编号数为偶数之和,则X为奇数的概率P（X为奇数）等于C12C12C24等于23

3.间接法：某些概率问题,正面求解,不是很容易,特别当问题中出现至多（至少）等条件时,可采用间接方法转化为“对立事件”来求解.

例3：（2011年对口升学考试试题）日本大地震导致核电站发生泄漏事故.3月21日至4月10日,某调查机构在亚洲、欧洲、南美、北美、非洲等地区调查了3万4千人.结果显示,地震后反对核电站建设的人数比例为43%.现从该地区随机抽查10人,

（1）估计约有多少人会反对核电站建设.（精确到个位）

（2）求至少有1人反对核电站建设的概率.（精确到0.001）

解：（2）设A至少有1人反对核电站建设,

则：P（A）等于1-（1-43%）10

≈0.996

∴至少有1人反对核电站建设的概率为0.996

在例1：（2010年对口升学考试试题）中的第二问,求恰有1粒种子不发芽的概率的也可以用上述方法.

4.转化法：当依据题意所表述的形式难于思考时,可将该问题转化成一个熟悉的“概率模型”,从而求得其解.

例4：某数学家有两盒火柴,每盒都有n根火柴,每次用火柴时,他在两盒中任取一盒并从中任取出一根,求他发现用完一盒时,另一盒还有r根（1≤r≤n）的概率.

解：由题意数学家共用了2nr根火柴,其中n根取自一盒,nr根取自另一盒,于是此问题可等价转化为：“2nr个不同的球,放入两个盒子,求甲盒放n个,乙盒放nr的概率”,记作事件A,因每个球放入两个盒子共有2种放法

∴2nr个球的所有等可能结果为22n-r

甲盒放入n个球的可能结果为Cn2n-r

∴P（A）等于Cn2n-r22n-r等于Cn2n-r（12）2n-r

5.枚举法：对于带有开放性的概率问题,首先要弄清题意,恰当理解陈述问题的材料,联想所学的概率模型、分类讨论,然后表述解决问题的方案.

例5：（2014年对口升学考试试题）从4名男生和3名女生中任选4人参加独唱比赛,设随机变量ξ表示所选4人中女生的人数.

（I）求ξ的分布列,

（I）求事件“所选4人中女生人数ξ≤2”的概率.解：（III）随机变量的可能取值为0,1,2,3

P（ξ等于0）等于4C037等于135P（ξ等于1）等于C34C137等于1235

P（ξ等于2）等于C24C237等于1835P（ξ等于3）等于C14C337等于435

所选4人中女生人数ξ≤2的概率：

P（ξ≤2）等于P（ξ等于0）+P（ξ等于1）+P（ξ等于2）

等于135+1235+1835等于3135

2012年对口升学考试试题也可按上述方法解答.

例6：（2012年对口升学考试试题）某射手每次射击命中目标的概率为23,且各次射击的结果互不影响.

检测设该射手射击3次,每次命中目标得2分,未命中目标得-1分.记X为该射手射击3次的总得分数.求（1）X的分布列,（2）该射手射击3次的总得分数大于0的概率.

解：（2）X的可能值为-3,0,3,6

P（X等于-3）等于C03（23）0（1-23）3等于127P（X等于0）等于C13（23）1（1-23）2等于29

P（X等于3）等于C23（23）2（1-23）1等于49P（X等于6）等于C33（23）3（1-23）0等于827

该射手射击3次总得分数大于0的概率

P（X>,0）等于p（X等于3）+P（X等于6）

等于49+827等于2027

6.几何法：有些事件发生的结果满足某一代数关系式,则事件发生的概率可依据几何意义来求：

例7：甲、乙两人约定在6时到7时之间在某处会面,并约定先到者应等候另一人一刻钟,过时即刻离去,求两人会面的概率.

解：设x、y分别为甲乙两人到达约会地点的时间,若两个人能会面,则|xy|≤15.

如图：则（x、y）的所有可能结果是

边长为60的正方形内的所有点的集合,由等可能事件的概率求法可知：

P（A）等于602-452602等于716

四、对口招生考试数学考试中概率题目解法步骤归纳

解决对口升学考试数学考试中的概率问题的步骤可归纳为三步：

第一步,确定事件的性质,例如古典概型、互斥事件、独立事件、独立重复试验,然后把所给问题归结为四类事件中的某一种.

第二步,判断事件的运算、和事件、积事件,确定事件至少有一个发生还是同时发生,分别运用相加或相乘事件公式.

第三步,运用相应的公式计算.

正确的求解对口升学考试数学考试中概率问题,必须要具备一定的排列组合知识和了解上述的方法步骤,能熟悉和掌握必要的“概率模型”,并会利用分类与讨论、转化与化归等数学思想.

[3]《2014年湖南省普通高等学校对口招生考试数学考试基本要求和考试大纲》.