本站原创众所周知,做匀变速直线运动的物体,在t时间内的平均速度与这段时间的中间时刻t2的瞬时速度相同.那么这个结论对于做匀变速曲线运动的物体来说是否成立呢?答案是肯定的.笔者翻阅了相关的资料,发现在这方面并没有明确的结论及证明.本文拟从平均速度的定义及运动的合成与分解的角度来详细论证这一拓展之后的结论.
情景展现一质点在水平面内以恒定的加速度a沿x轴正方向运动,时刻的速度为v0,与加速度方向之间的夹角为θ,θ≠0,如图1所示.运动时间为t.试证明t时间内的平均速度与t2时刻的瞬时速度相同.
图1图2
证明为使证明过程简单起见且又不失一般性,情景中已经令加速度a的方向沿x轴正方向了,如图2所示,过质点运动的起点O引x轴的垂线,作平面直角坐标系.用xt表示t时间内质点的位移,φ表示位移与x轴正方向之间的夹角,用ttx和sty分别表示质点沿x、y方向的分位移,v0x、v0y和vx、vy分别为这两个方向的分初速度和分速度.由运动的合成和分解知识可得vx等于v0x+at等于v0cosθ+at,表明质点在该方向上做初速度为v0cosθ加速度为a匀加速直线运动；vy等于v0y等于v0sinθ,表明质点在y方向上做匀速直线运动.t时间内x方向的位移为stx等于v0tcosθ+12at2,y方向的位移为sty等于v0tsinθ,总位移
st等于s2tx+s2ty等于（v0tcosθ+12at2）2+（v0tsinθ）2等于t（v0cosθ+12at）2+（v0sinθ）2,
故t时间内的平均速度为
vt等于stt（v0cosθ+12at）2+（v0sinθ）2①
平均速度的方向与位移的方向相同,故
tanφ等于v0tsinθv0tcosθ+12at2等于2v0sinθ2v0cos+at②
下面来证明质点在中间时刻瞬时速度vt2的大小和方向,从初始时刻到中间时刻共经历时间t2,如图3所示,根据速度的合成和分解知识可得
图3
vt2等于v0cosθ+at2,vt2y等于v0sinθ,故
vt2等于v2t2x+v2t2y等于
（v0cosθ+12at）2+（v0sinθ）2③
设该时刻瞬时速度方向与+x轴之间的夹角为,则
tanφ等于vt2yvt2x等于v0sinθv0cosθ+12at等于
2v0sinθ2v0cosθ+at
④
将①③两式和②④两式分别比较可得
vt等于vt2⑤
φ等于⑥
⑤⑥两式表明：做匀变速曲线运动的质点在某段时间的平均速度与该段时间中间时刻的瞬时速度完全相同.
综上所述,只要质点做匀变速运动,不论轨迹是直线还是曲线,也就是只要加速度恒定或者说质点受到的合外力恒定,那么平均速度就一定与对应的中间时刻的瞬时速度相同.
图4
下面以t时间内的平抛运动为例,对结论进行简单的验证.如图4所示.
从平抛开始t时间内的平均速度为
vt等于（v0t）2+（12gt2）2÷t等于v20+14g2t2,平均速度方向与水平方向间的夹角α满足tanα等于yx等于12gt2v0t等于gt2v0.
中间时刻的瞬时速度
vt2等于v2x+v2y等于v20+（gt2）2等于
v20+14g2t2,
速度偏向角β满足tanβ等于vyvx等于gt2v0等于gt2v0.
经比较,恰好满足vt等于vt2和α等于β.
总之,许多物理规律都隐藏在表象之中,只有经过细致入微的论证之后,才能得到正确的结论,否则可能就会因先入为主的思想造成不必要的错误.