MATLAB在微积分中的应用

摘 要：微积分是高等数学中最重要的基础内容之一,也是现代数学的一个基本工具.用户可以借助MATLAB的强大功能摆脱繁重的微积分计算,轻松地完成实际应用中遇到的问题.本文结合高等数学和MATLAB语言的特点,主要探讨了计算机数学语言MATLAB在高等数学微积分学中的应用．

关 键 词：MATLAB高等数学微积分

一、MATLAB在求函数极限中的应用

在微积分中求极限是非常重要的,微积分的一个基本思想就是“无穷逼近”.微积分的定义都是在极限的基础上给出的.在MATLAB的符号运算工具箱中可以直接使用命令limit来求函数极限．在用limit命令求解之前,应先用命令syms定义自变量为符号变量．求函数极限的调用格式为：A等于limit(function,x,a),即求函数f在x→a时的极限,x可以缺省；a也可以缺省,缺省时,系统默认a等于0.对于单侧极限,只要给出左右选项即可,求单侧极限的调用格式为：

A等于limit(function,x,a,left或right)．

【例1】用MATLAB求极限：.

>>symsxa

>>L等于(sin(x)^2-sin(a)^2)/(x-a),

>>limit(L,x,a)

ans等于2*sin(a)*cos(a)

>>simple(ans)

ans等于sin(2*a)

二、MATLAB在求级数中的应用

通过MATLAB求―些复杂级数的和,计算方法简单实用.虽说其并未显示计算过程和计算方法,但可以极大地引导学生思考和掌握最终的级数求和方法.MATLAB符号工具箱中提供的函数symsum可以求已知通项的级数的和.其调用格式如下：A等于symsum(Fk,k,k1,kn)

【例2】求下列级数的和：S1等于1+x+x2+等,

>>symsxk

>>Fk等于x^k,

>>S等于symsum(Fk,k,0,inf)

S等于-1/(x-1)

三、MATLAB在求导数中的应用

在MATLAB软件中,可以直接用命令diff求已知函数的导函数,进而代入相应的自变量值可以求出具体点处的函数值．求导函数的调用格式为：Y等于diff(function),对由findsym(f,1)返回的自变量求f的一阶导数；Y等于diff(function,x),对指定的自变量x求f的一阶导数；Y等于diff(function,x,n),对指定的自变量x求f的n阶导数.其中我们要首先声明自变量x和函数function为符号变量,n为导数的阶,若n省略则表示求给定函数function的一阶导数．

【例3】用MATLAB计算二阶导数：；

>>symsx

>>y等于cos(2*x^2),

>>df等于diff(y,x,2)

ans等于-4sin(2*x^2)-16*x^2*cos(2*x^2)

若f为矩阵时,函数diff则对矩阵的元素逐个求导.

四、MATLAB在求微分方程中的应用

微分方程求解一般都比较复杂,在教学和科研中将时间花在复杂的微分方程求解上,则过于浪费精力,而且还可能引起解的不精确.而MATLAB提供了强大的工具,利用MATLAB进行微分方程求解则十分简单,其中最简单的是dsolve函数,其调用格式如下：dsolve(‘equ1’,’equ2’,等,’equn’)‘equ1’,’equ2’,等,’equn’代表微分方程及初始条件.在MATLAB中表示微分方程时,用大写字母“D”代表导数,D后面的变量代表因变量,自变量缺省为t.也可以通过命令将自变量t变成其它字母.例如：Dy表示y,D2y表示y,Dy(0)等于3表示y(0)等于3

【例4】求解二阶微分方程y-2y-3y等于0,初始条件为y（0）等于0,y（1）等于1

>>dsolve(‘D2y-2*Dy-3*y等于0’,’y(0)等于0’,’y(1)等于1’,’x’)

ans等于1/(exp(-1)-exp(3))*exp(-x)-1/(exp(-1)-exp(3))*exp(3*x)

>>y等于simple(ans)

y等于(exp(-x)-exp(3*x))/(exp(-1)-exp(3))

dsolve也可以求解多个微分方程联立的微分方程组,其结果输出到一个框架数组中.

【例5】求微分方程组

>>S等于dsolve(‘Df等于3*f+4*g’,’Dg等于-4*f+3*g’,’f(0)等于0’,’g(0)等于1’,’x’),f等于S.f,g等于S.g

f等于exp(3*x)*sin(4*x)

g等于exp(3*x)*cos(4*x))

五、MATLAB在求不定积分和定积分中的应用

符号积分包含不定积分,定积分和重积分等.无论是不定积分还是定积分,利用MATLAB语言中的int命令,可以快捷地求出可积函数的原函数．求不定积分的调用格式分别为：F等于int(function,x),求函数f对变量x的不定积分,参数x可以缺省,缺省原则与函数diff相同.另外,结果不显示积分常数.定积分的调用格式为：F等于int(function,x,a,b),其中function为被积函数,x为积分变量,(a,b)为积分区间(这里a和b可以是inf或-inf,也可以是符号表达式)．

【例6】求下列积分：(1)∫（a-x2）3dx,(2)

>>symsaxy

>>f等于(a-x^2)^3,

>>int(f)

ans等于-1/7*x^7+3/5*a*x^5-a^2*x^3+a^3*x

>>f等于x^2+y^2+1,

>>int（int（f,y,x,x+1））

ans等于5/2

六、MATLAB在求Taylor级数中的应用

在MATLAB中,采用函数Taylor来对符号表达式求Taylor展式,其调用格式如下：Taylor(f,x,n,a),将函数f按变量x在x等于a处展成Taylor级数,展到含x的n-1次幂的项.x缺省时,缺省原则与函数diff相同；n缺省时,系统默认为6；a缺省时,系统默认为0,即Maclaurin公式.

【例7】求下列函数在指定点处的Taylor展式：f(x)等于lnx在a等于1处展开到含x5的项

>>symsxt

>>f等于log(x),

>>p等于taylor(f,x,6,1)

p等于x-1-1/2*(x-1)^2+1/3*(x-1)^3-1/4*(x-1)^4+1/5*(x-1)^5