本站原创加强初中数学建模教学培养学生应用数学意识
厦门前埔中学阮颖芳
九年义务教育《数学课程标准》中指出:数学可以帮助人们更好地探求客观世界的规律,并对现代社会中大量纷繁复杂的信息作出恰当的选择与判断,同时为人们交流信息提供了一种有效,简捷的手段.数学作为一种普遍适用的技术,有助于人们收集,整理,描述信息,建立数学模型,进而解决问题,直接为社会创造价值.数学教学要让学生亲身经历将实际问题抽象成数学模型并进行解释与应用的过程,进而使学生获得对数学理解的同时,在思维能力,情感态度与价值观等多方面得到进步和发展.
近几年,不仅每年高考都出了应用题,中考也加强了应用题的考察,这些应用题以数学建模为中心,以考察学生应用数学的能力,但学生在应用题中的得分率远底于其他题,原因之一就是学生缺乏数学建模能力和应用数学意识.因此中学数学教师应加强数学建模的教学,提高学生数学建模能力,培养学生应用数学意识和创新意识,本文结合教学实践,谈谈初中数学建模教学的一些学习体会.
⒈数学建模是建立数学模型的过程的缩略表示,可用下面的框图来说明这一过程:
审题建立数学模型,首先要认真审题.实际问题的题目一般都比较长,涉及的名词,概念较多,因此要耐心细致地读题,深刻分解实际问题的背景,明确建模的目的,弄清问题中的主要已知事项,尽量掌握建模对象的各种信息,挖掘实际问题的内在规律,明确所求结论和对所求结论的限制条件.简化根据实际问题的特征和建模的目的,对问题进行必要简化.抓住主要因素,抛弃次要因素,根据数量关系,联系数学知识和方法,用精确的语言作出检测设.1.3抽象将已知条件与所求问题联系起来,恰当引入参数变量或适当建立坐标系,将文字语言翻译成数学语言,将数量关系用数学式子,图形或表格等形式表达出来,从而建立数学模型.按上述方法建立起来的数学模型,是不是符合实际,理论上,方法上是否达到了优化,在对模型求解,分析以后通常还要用实际现象,数据等检验模型的合理性.
已知,,均为非负实数,求证:
前两个问题比较明显的须建立几何图形模型来加以分析,第三个问题若用不等式变形来解决则非常困难,但建立几何图形模型解决则轻而易举,
如下图.
甲,乙两厂分别承印八年级数学教材20万册和25万册,供应A,B两地使用,A,B两地的学生数分别为17万和28万,已知甲厂往A,B两地的运费分别为200元/万册和180元/万册,乙厂往A,B两地运费分别为220元/万册和210元/万册.(1)设总运费为w元,甲厂运往A地x万册,试写出w与x的函数关系式,(2)如何安排调动计划,能使总运费最少
我们已经学会了一些测量方法,现在请你观察一下学校中较高的物体,如教学楼,旗杆,大树等等,如何测量它们的高度呢
本题显然要建立三角函数模型来分析解决
爸爸准备为小明写一双新的运动鞋,但要小明自己算出穿几"码"的鞋.小明回家量了一下妈妈36码的鞋子长23厘米,爸爸41码的鞋子长25.5厘米.那么自己穿的21.5厘米长的鞋是几码呢
本题较合理的数学模型是一次函数.
1997年11月8日电视正在播放十分壮观的长江三峡工程大江截流的实况.截流从8:55开始,当时龙口的水面宽40米,水深60米.11:50时,播音员报告宽为34.4米.到13:00时,播音员又报告水面宽为31米.这时,电视机旁的小明说,现在可以估算下午几点合龙,从8:55到11:50,进展的速度每小时减少1.9米,从11:50到13:00,每小时宽度减少2.9米,小明认为回填速度是越来越快的,近似地每小时速度加快1米.从下午1点起,大约要5个多小时,即到下午6点多才能合龙.但到了下午3点28分,电视里传来了振奋人心的消息:大江截流成功！小明后来想明白了,他估算的方法不好,现在请你根据上面的数据,设计一种较合理的估算方法(建立一种较合理的数学模型)进行计算,使你的计算结果更切合实际.
建模合理性分析:本题建模合理性有以下两个评价点
⑴回填速度以每小时多少立方米填料计.这样,能否建立合理的回填速度计算模型便成为第一个评价要点.
⑵注意到回填速度是逐渐加快的:水流截面越大,水越深,回填时填料被冲走的就越多,相应的进展速度就越慢.反之就越快.在模型中对回填速度越来越快这一点如何作出较合理的检测设,这是第二个评价要点.
⒋数学建模教学活动设计的体会
①鼓励学生积极主动地参与,把教学过程更自觉地变成学生活动的过程.
教师不应只是"讲演者","总是正确的指导者"而应不时扮演下列角色:模特——他不仅演示正确的开始,也表现失误的开端和"拨乱反正"的思维技能.参谋——提一些求解的建议,提供可参考的信息,但并不代替学生做出决断.询问者——故作不知,问原因,找漏洞,督促学生弄清楚,说明白,完成进度.仲裁者和鉴赏者——评判学生工作成果的价值,意义,优劣,鼓励学生有创造性的想法和作法.
②注意结合学生的实际水平,分层次逐步地推进.
数学建模对教师,对学生都有一个逐步的学习和适应的过程.教师在设计数学建模活动时,特别应考虑学生的实际能力和水平,起始点要低,形式应有利于更多的学生能参与.在开始的教学中,在讲解知识的同时有意识地介绍知识的应用背景.在应用的重点环节结合比较多的训练,如实际语言和数学语言,列方程和不等式解应用题等.逐步扩展到让学生用已有的数学知识解释一些实际结果,描述一些实际现象,模仿地解决一些比较确定的应用问题,到独立地解决教师提供的数学应用问题和建模问题,最后发展成能独立地发现,提出一些实际问题,并能用数学建模的方法解决它.
③重视知识产生和发展过程教学.
由于知识产生和发展过程本身就蕴含着丰富的数学建模思想,因此老师既要重视实际问题背景的分析,参数的简化,检测设的约定,还要重视分析数学模型建立的原理,过程,数学知识,方法的转化,应用,不能仅仅讲授数学建模结果,忽略数学建模的建立过程.
④注意数学应用与数学建模的"活动性".
数学应用与数学建模的目的并不是仅仅为了给学生扩充大量的数学课外知识,也不是仅仅为了解决一些具体问题,而是要培养学生的应用意识,数学能力和数学素质.因此我们不应该沿用老师讲题,学生模仿练习的套路,而应该重过程,重参与,更多地表现活动的特性.
#34;由形到数",用几个点的坐标找出与之相近的模拟函数,利用函数模型来解决问题.2,讨论模型
在学生独立思考的基础上,引导学生分组讨论,找出模拟函数.
学生1:一次函数:,
学生2:二次函数:,
学生3:幂函数型:,
学生4:指数函数型:.
老师:很好,课下可以再考虑还有没有哪些函数图象更逼近这条曲线.我们设月产量为万件,月份数为,建立直角坐标系,可得A(1,1),B(2,1.2),C(3,1.3),D(4,1.37).下面同学们分成四个组,分别确定各个函数的解析式(允许用计算器),然后每组选出一位同学来板演过程,并计算出剩余点的误差.
(经过各小组学生的讨论,确定了各函数的解析式,并推选学生5,学生6,学生7,学生8分别上台板演.)
学生5:直线,将B,C两点的坐标代入,有,,解得,故.
将A,D两点的坐标代入,得,与实际误差为0.1,,与实际误差为0.03.
学生6:二次函数,将A,B,C三点的坐标代入,有
,,,解得,故.将D点的坐标代入,得,与实际误差为0.07.
学生7:幂函数型,将A,B两点的坐标代入,有,,解得.故.将C,D两点的坐标代入,得,与实际误差为0.05,,与实际误差为0.11.
学生8:指数函数型,将A,B,C三点的坐标代入,得,,,解得,故.将D点的坐标代入,得
,与实际误差为0.02.
3,评价模型
教师引导学生比较上述4个模拟函数的优劣,指出既要考虑到剩余点误差最小,又要考虑生产的实际问题,比如增产的趋势和可能性.经过筛选,普遍认为最佳,一是误差值最小,二是由于新建厂,开始随着工人技术,管理效益逐渐提高,一段时间内产量明显上升,但到一定时期后,设备不更新,那么产量必然要趋于稳定,而恰好反映了这种趋势,因此选用比较接近客观实际.
4,师生小结
师生一起小结了上例建模的一般过程:
(1)调查实验得出原始数据对,
(2)建立直角坐标系,描出这些点,
(3)观察图象,确定用哪种函数模型,
(4)对模型进行分析评价.
(三)练习
投影打出在顺义县经委调查得来的1993～1998年县财政收入情况:
年度199319941995199619971998收入(万元)258993050437997488986680085000(1)请建立一个数学模型,预测顺义县以后几年的财政收入情况.
(2)计算顺义县财政收入的平均年增长率.
(3)由(1),(2)分别预测1999年顺义县财政收入,并讨论哪种预测结果更有可行性,检测如你是县长,将会采用哪种模型
经过师生讨论,得出二次函数,指数函数或幂函数等,由于时间关系,只要求建立两个模型.
注:"年次"中第1年即1993年,其他依此类椎.
学生9:设,将A,B,C三点的坐标代入,得
,
解得.计算得,,,与实际误差分别为0.05,0.51,0.71.
学生10:设,将A,B,C三点的坐标代入,得,解得.计算得,,与实际误差分别为0.13,0.33,1.76.
对两个函数模型进行评价,得较好.
对于(2),学生由1993,1998年财政收入,设平均年增长率为,有,得.
教师指出顺义县年增长率远远高于全国的年增长率8%,北京市的9%,我们应为家乡感到骄傲.能不能从增长率的角度再建立一个财政收入的数学模型呢
学生得到.
用和,分别预测1999年财政收入:
(亿),
(亿).
分析顺义县经济发展形势,两种预测都有可行性,但是选择比较稳妥和留有余地,所以选用较好.
(四)小结
在肯定了学生的应用意识和创造精神的基础上,归纳整理了数学建模的概念和基本程序,鼓励学生自己尝试运用数学建模的方法去解决生活和生产中的实际问题.
二,课例点评
在中学数学教学中开展数学建模的教学是一个新的尝试和探索.它是指从实际问题入手,建立数学模型,求出数学模型的解并验证模型解的全过程.把数学建模引入课堂教学,从教学目的,教学内容,教学模式,教学手段上都将会给中学数学教学改革带来新的突破,在这方面没有什么现成经验可以借鉴,需要进行多种形式的实验.
数学建模中的实际问题背景更加复杂,解答具有更大的综合性和多样性,而结论还需要进行检验和优化,带有更大的挑战性和创造性.数学建模的教学使学生走出课本,走出传统的习题演练,使他们进入生活,生产的实际中,进入一个更加开放的天地,使学生体会到数学的由来,数学的应用,体验到一个充满生命活力的教学,这对于培养学生应用意识和创造精神显然是一个很好的途径.
茹玉兰老师这节课的教学中,按照教学进度安排在高一年级讲授幂函数,指数函数的内容以后进行,选用的实际问题经过教师加工简化,贴近教材,便于学生在建模过程中综合应用基础知识,达到巩固提高的目的,也便于通过简化的问题领会建模的过程,使数学建模带有更大的示范性.
应用意识是一种观念,要通过对学生长期的渗透和学生的自身体验才能形成,而这与学生的非智力因素密切相关.茹玉兰老师在提出问题以后,让学生转换角色,"检测如你是厂长","检测如你是县长",把他们置于自主解决问题的地位,带有更大的责任感,激发了解决问题的动机,调动了情感因素.教学中,对于学生建模,演算的结果,及时肯定和表扬,并采用小组合作的形式,组织学生讨论,给他们展示学习成果的机会,激发了探索精神.把培养非智力因素和智力因素有机地结合起来,使数学建模的教学注入动力机制,有利于应用意识的培养.
分析一下数学建模的过程,大致由三部分组成:
数学建模教学成功的关键是要在这个过程中引导学生深层次的参与,充分体现学生的主体地位,这就要在教学中留给学生充分的空间和时间,尤其是②,③两个过程,更多地体现着数学建模教学的特色.可以看到,要搞好数学建模教学,需要结合上述过程,对能力培养进行分解落实,提高教学的意识性.在过程①中,要培养阅读和语言转化能力,这里包括由普通语言抽象为数学文字语言,再抽象为数学符号语言.因为只有出现了符号语言的形式,才能联想和应用相应的数学结构,要培养抽象,概括能力,数学建模实质上也是一个去粗取精,去伪存真,抽象概括的过程,还要培养数学检索能力,从已有的知识中认定相应的数学模型,这与学生认知结构的好坏有关.在过程②中,不仅需要基本的数学能力,而且带有更大的综合性和灵活性,在过程③中,要培养联系实际,全面考虑问题的能力.教学中,只有对上述能力具体落实,才能取得较好的效果.茹玉兰老师在教学中已注意到这点,但还需进一步改进.
在一个数学建模的课例中,由于学生知识水平和课时的限制,不可能进行完全科学的建模过程.比如建立函数关系式由于已知点的选择不同对数学模型的影响,怎样科学地比较各个模型的优劣,怎样调整数学模型等,今后还可以进一步展开.在数学建模教学中,把课内教学与课外活动结合起来是一条值得探索的途径,它将形成一个新的教学模式,这也是我们正在研究的问题.
数学问题的模型求解
上海市田林三中陈爱华
在数学教学中,同一内容可以用不同的方法进行讲解,较为直观的方法可以启发学生进行独立地思考,培养他们的逻辑推理能力,特别是把握具体问题中数量之间的关系.数学是一门推理性很强的学科,我们不能象语文和英语等课程那样要求学生去熟记这样的规则或那样的公式,否则会使数学学习变得枯燥乏味.在我国小学年龄段的女生的数学成绩往往高于男生,但随着年龄的增长,特别是到了高中阶段她们的数学成绩却显得越来越差.究其原因,其实不在于他们的年龄,而是在于小学时代女孩子通常较为顺从,记忆力强,这就足以应付加减乘除等少量的规则和公式,然而到了初中和高中阶段,数学知识对于逻辑推理能力的要求越来越高,光靠记忆力已远远不够.有的教师常感到困惑:某某学生上一次考了90分,这一次怎么仅考了个60分,其中最为主要的原因恐怕是"公式化","规则化"的教学方法.要改变这种状况,首先要求不断更新我们的教材,其次要改变过时的教育观念,作为教师更为重要的是在教学方法上下功夫:教师应以学生为中心,采用直观的教学方法和手段,启发学生,逐步开发每一个学生的潜力,帮助他们提高分析,推理和综合能力.
下面从一个具体的问题出发探讨一下中学数学教学中一个值得采用的启发式教学方法----条形图模型.
例1:小明和小刚共有苹果若干,小明的苹果数是小刚的5倍.若小明给小刚36个苹果,他们两人的苹果就一样多,间他们共有多少个苹果
这一问题可用列二元一次方程组求解,若令和分别为小明和小刚原有的苹果数,那么和满足下面的二元一次方程组:,容易解得,等于90,等于18,从而等于108,即小明和小刚共有苹果108个.
这一问题可用条形图模型求解如下:将小刚原有的苹果数视为一个单位,那么由题意,小明原有的苹果数为5个单位,由此得到模型:
2个单位→36,6个单位→36÷2×6等于108.所以小明和小刚共有108个苹果.
可见条形图可使数量之间的关系变得一目了然,然后的求解过程只涉及简单的加减乘除运算(而不是解方程或方程组).条形图方法具有:(1)简单直观,富有启发性,(2)易于反映量与量之间的关系,(3)易于反映量的变化(增加或减少)的过程,(4)易于教师讲解,特别是进行多媒体教学,(5)易于学生提高逻辑推理能力,培养他们的创造性思维能力.
下面进一步就初中数学中的几类问题分别举例说明这种模型化解题的具体应用.
一,分数问题
例2:某中学的学生是女生,其余是男生.其中的女生,的男生参加了校运动会.如果此中学共有570名学生没有参加校运动会,问学校共有多少学生
解:将学校的学生分成5个单位,则由题意,其中2个单位是女生,3个单位是男生,由此可得下面的模型:
未参加运动会的共有1个单位+个单位等于个单位,
个单位→570,5个单位→1140.所以该学校共有1140个学生.
二,比例问题
例3:4月份小王与小李在银行的储蓄额是3:5,到了6月份小王的储蓄额增加了28元,而小李的储蓄额却减少了14元,结果他们两位的储蓄额正好相等,问小李4月份的储蓄额是多少
解:由题意,可将4月份小王和小李的储蓄额分别视为3个单位和5个单位,由此得到模型:
2个单位→(28+14)元等于42元,5个单位→42元÷2×5等于105元.所以小李的储蓄额为105元.
三,百分比问题
例4:某中学80%的学生是男生,新学期开始时,学校共增加了320名学生,男生增加了25%,而女生数正好翻一倍,问原来学校共有多少学生
解:按题意可将学校原来的女生数视为1个单位,男生数视为4个单位(5个单位的80%),由此得到模型:
2个单位→320,5个单位→320÷2×5等于800.所以学校原来共有学生800名.
四,面积问题
例5:有三个正方形X,Y,Z重叠在一起(见图).X,Y和Z的面积之比为1:2:3.正方形Y的40%被X所覆盖形成阴影,问非阴影部分占多少百分比
解:由于Y被X覆盖形成的阴影部分占整个图形的40%k,故可将阴影部分视为4个单位,再根据正方形X,Y,Z的比例可列出下面的模型:
可见整个图形被分割成为15+1等于16单位,所以非阴影部分占整个图形的×100%等于75%.
五,收益问题
例6:一商人有一台电视机,如果以原价的10%打折出售,他还可赢利150元,但如果打折30%出售,那么他要蒙受150元的损失,问电视机的成本价是多少
解:商品的有三种:成本价,销售价和原价之分.我们在解这类题目时经常将商品的原价视为一个单位或100%.由此根据题意我们可作出下面的模型:
30%-10%等于20%→150元+150元等于300元,100%→300元÷20×100等于1500元(通常).电视机的成本价等于90%×1500元-150元等于1200元(或70%×1500元+150元等于1200元).
六,行程问题
例7:两城市A和B之间的距离为210公里.上午8点30分有一辆轿车以平均速度60公里/小时从A出发驶向B,同时另有一辆公共汽车以平均速度45公里/小时从B出发驶向A,问当轿车与公共汽车相遇时,公共汽车行驶了多少路程
解:公共汽车与轿车所行驶的距离之比等于两者的速度之比,即60:45等于4:3,因此我们可将A到B的整个路程分7个单位,进而得到下面的模型:
4个单位+3个单位等于7个单位→210公里,3个单位→210公里÷7×3等于90公里.所以当轿车与公共汽车相遇时公共汽车行驶了90公里.
上面的几类问题均可用设求未知数列方程的方式求解,例如上面的例2至例5可用一元一次方程求解,例6和例7可用二元一次方程组求解,请读者自己完成.
数学建模与初中数学教学
----谈初一年级浓度问题的教学体会
福建省安溪县第六中学(362400)谢俊民
20世纪以来,科学技术得到了飞速发展,数学在这个发展过程中起了非常重大的作用.今天,社会对数学的需求并不只是需要数学家,而是大量善于运用数学知识和数学的思维方法来解决实际问题的各种人才,把实际问题化成一个数学问题,这就称为数学模型.数学模型不同于一般的模型,它是用数学语言模拟现实的一种模型,即把一个实际问题中某些事物的主要特征,主要关系抽象成数学语言,近似地反映客观事物的内在联系与变化过程.
列方程解浓度问题作为分数,百分数问题的实际应用题,不仅在工农业生产中经常碰到,而且在以后学习等比数列,指数方程的课程也常涉及,学生对理解和掌握这部分内容历来都比较困难,是初一年级数学的难点之一.本文拟就我在多年来的教学中,如何利用数学建模来突破初一年级浓度应用题这一难点教材的一些做法和体会.
一,建立数学模型,讲清浓度问题的概念和关系
在初一年级数学的教学中,针对初一年级学生年龄小,抽象思维能力较弱的特点,采用直观演示的教学,建立数学模型,讲清溶液,溶质,溶剂及浓度四个名词概念及其两个关系式.课前准备一只装有90克水的玻璃杯和一只装有10克食盐的玻璃杯,上课时把90克的水倒入装有10克食盐的玻璃杯中均匀搅拌后得到盐水100克.在这个问题中,引导学生建立数学模型:溶液----100克盐水,溶质----10克食盐,溶剂----90克水,浓度----盐水中含盐的百分数(10%).再引导学生建立它们之间的两个关系的数学模型:
(1)溶液(盐水)重量等于溶质(盐)重量+溶剂(水)重量.
(2).
又例如:浓度为75%的酒精溶液克中,含纯酒精多少克含水多少克
这个问题采用上面的数学模型,学生就可以得到:溶液----酒精溶液,溶质----纯酒精,溶剂----水.
纯酒精重量(溶质)等于酒精溶液重量×浓度等于×75%等于75%(克).
水重量(溶剂)等于酒精溶液重量-纯酒精重量(溶质)等于(-75%)克.
二,建立数学模型,寻找解题钥匙
在教学过程中,根据各种题型的解题过程中,启发引导学生,通过观察,分析,弄清混合前后溶液,溶质,溶剂和浓度哪些量发生变化,哪些量没有发生变化.然后引导学生紧紧抓住一个关键性相等关系建立数学模型:
混合前溶质的重量等于混合后溶质的重量
同时,强调它是解决浓度问题的一把共同钥匙,不管题型如何变化,只要抓住这把钥匙总可以列方程解出应用题,下面就浓度问题的三种类型分别作如下讲解:
1,稀释问题
例1:要把30克含盐16%的盐水稀释成含盐0.15%的盐水,需要加水多少克
(现行教材P.229例7)
分析:根据图示,引导学生通过观察,分析,并提出下列问题要学生回答:(1)含盐16%的盐水30克中含盐多少克(2)加上克的水后得到含盐0.15%的盐水溶液多少克含盐多少克(3)混合前含盐量和混合后含盐量有没有变化再引导学生列出下表:
相等关系:混合前溶质的重量等于混合后溶质的重量.
列出方程:16%×30+0等于0.15%(30+).
2,加浓(浓缩)问题
例2:有含盐15%的盐水20千克,要使盐水含盐20%,需要加盐多少千克(现行教材P.232练习第3题)分析:根据下列图示,引导学生通过观察,分析,并要求学生回答下列问题:(1)浓度15%的盐水20千克含盐多少千克(2)加千克盐后成为含盐20%的盐水多少千克其中含盐多少千克(3)混合前含盐量和混合后含盐量有没有变化再引导学生填写下表:
相等关系:混合前溶质的重量等于混合后溶质的重量.
列出方程:15%×20+等于20%(20+).
例3:在含盐24%的盐水2000克,要使盐水含盐量变为30%,应蒸发掉多少克的水份
分析:根据下列图示,引导学生通过观察,分析,并要求学生回答下列问题:(1)含盐24%的盐水2000克含盐多少克(2)蒸发掉克的水份后成为含盐30%的盐水重多少克其中含盐多少克(3)蒸发前含盐量与蒸发后含盐量有没有变化再引导学生列出下表:
相等关系:蒸发前溶质的重量等于蒸发后溶质的重量.
列出方程:24%×2000等于30%(2000-).
3,溶液与溶液混合问题
例4:在含盐20%的盐水30千克里,要加入含盐40%的盐水多少千克,才会使盐水浓度变为30%
分析:根据图示,引导学生通过观察,分析,并要求学生明确几个问题:(1)含盐20%的盐水30千克含盐多少千克(2)加入含盐40%的盐水千克中含盐多少千克(3)两种盐水混合后得到多少千克含盐30%的盐水其中含盐多少千克(4)混合前含盐量与混合后含盐量有没有变化再引导学生列出下表:
相等关系:混合前溶质的重量等于混合后溶质的重量.
列出方程:20%×30+40%等于30%(30+)
总之,对于某些实际问题,可以通过建立合理的数学模型作为桥梁来解决,对于相同类型的问题,采用相同的数学模型,使学生的思维过程形象化,公式化.这样,学生学起来不感到抽象,难懂,并能增强记忆和理解,容易被学生所接受.同时,通过直观演示配合列表,把问题中的已知条件,未知条件列入表中,使题目更加条理化,帮助学生透彻理解题意,就容易找出相等关系列出方程,使教学的难点得以突破.一个学生是否具有数学的创造能力的一个重要标志是他是否有建立并应用数学模型的能力.因此在数学教学中应充分重视培养这种能力,鼓励他们独立思考,勇于探索,发现前人尚未发现问题的新结论,新方法.
中学数学建模的教学构想与实践
四川省邻水二中数学建模教学与应用课题组冯永明,张启凡,刘凤文
为适应21世纪数学课程改革中加强应用性,创新性,重视联系学生生活实际和社会实践的要求,我们开展了中学数学建模教学与应用的研究和实践,目的是培养学生的创造能力和应用能力,把学生从纯理论解题的题海中解放出来,把学生应用数学的意识的培养贯穿于教学的始终,让学生学得生动活泼,使数学素质教育跃上一个新的高度.现将我们在教学中的构想和实践作一个简介,并求教于广大同行.
1,中学数学建模教学的基本理念
1.1使学生体会数学与自然及人类社会的密切联系,体会数学的应用价值,培养数学的应用意识,增进对数学的理解和应用数学的信心.
1.2学会运用数学的思维方式去观察,分析现实社会,去解决日常生活中的问题,进而形成勇于探索,勇于创新的科学精神.
1.3以数学建模为手段,激发学生学习数学的积极性,学会团结协作,建立良好人际关系,相互合作的工作能力.
1.4以数学建模方法为载体,使学生获得适应未来社会生活和进一步发展所必需的重要数学事实(包括数学知识,数学活动经验)以及基本的思想方法和必要的应用技能.
2,贯彻应用意识的课堂数学环节
数学素质教育的主战场是课堂,如何围绕课堂教学选取典型素材激发学生兴趣,以润物细无声的形式渗透数学建模思想,提高建模能力呢根据我们的实践,采用知识的发生,形成过程与应用相渗透的教学模式可以实现这个目标,以"问题情景----建立模型----解释,应用与拓展"的基本叙述方式,使学生在朴素的问题情景中,通过观察,操作,思考,交流和运用中,掌握重要的现代数学观念和数学的思想方法,逐步形成良好的数学思维习惯,强化运用意识.这种教学模式要求教师以建模的视角来对待和处理教学内容,把基础数学知识学习与应用结合起来,使之符合"具体----抽象----具体"的认识规律.
其五个基本环节是:
2.1创设问题情景,激发求知欲
根据具体的教学内容,从学生的生活经验和已有的知识背景出发,选编合适的实际应用题,让学生带着问题在迫切要求下学习,为知识的形成做好情感上的准备,并提供给学生充分进行数学实践活动和交流的机会.
2.2抽象概括,建立模型,导入学习课题
通过学生的实践,交流,发表见解,搜集,整理,描述,抽象其本质,概括为我们需要学习的课题,渗透建模意识,介绍建模方法,学生应是这一过程的主体,教师适时启发,介绍观察,实验,猜测,矫正与调控等合情推理模式,成为学生学习数学的组织者,引导者,合作者与共同研究者.
2.3研究模型,形成数学知识
对所建立的模型,灵活运用启发式,尝试指导法等教学方法,以教师为主导,学生为主体完成课题学习,形成数学知识,思想和方法,并获得新的数学活动经验.
2.4解决实际应用问题,享受成功喜悦
用课题学习中形成的数学知识解答开始提出的实际应用题.问题得以解决,学生能体会到数学在解决问题时的实际应用价值,体验到所学知识的用途和益处,成功的喜悦油然而生.
2.5归纳总结,深化目标
根据教学目标,指导学生归纳总结,拓展知识的一般结论,指出这些知识和技能在整体中的相互关系和结构上的统一性,使学生认识新问题,同化新知识,并构建自己的智力系统.同时体会和掌握构建数学模型的方法,深化教学目标.此外,通过解决我国当前亟待解决的紧迫问题,引导学生关心社会发展,有利于培养学生的主体意识与参与意识,发挥数学的社会化功能.
3,中学数学建模教学的教学方式
根据我们的实践,数学建模教学应结合正常的数学内容进行切入,把培养应用数学的意识落实在平时的教学过程中,以教材为载体,以改革教学方法为突破口,通过对教学内容的科学加工,处理和再创造达到在学中用,在用中学,让学生学习到数学的精神,思想和方法.
3.1从课本中的数学出发,注重对课本原题的改变
对课本中出现的应用问题,可以改变设问方式,变换题设条件,互换条件结论,结合拓广类比成新的数学建模应用问题,对课本中的纯数学问题,可以依照科学性,现实性,新颖性,趣味性,可行性等原则,编拟出有实际背景或有一定应用价值的建模应用问题.按照这种方式开展教学活动,可使学生受到如何将实际问题数学化,抽象为数学问题的训练.
例1:如图,三个相同的正方形,求证:∠1+∠2+∠3等于90°.
此问题多次出现在课本上(高中《代数》上册P.203的复习参考题9,下册P.206的例4,初中《几何》第二册P.67的复习参考题21),其重要性可见一斑.以此问题为原型,可编拟如下一道应用问题:在距电视塔底部100米,200米,300米的三处,观察电视塔顶,测得的仰角之和为90°,那么电视塔高为多少只要有课本题的基础,就一定得出电视塔高为100米,否则三个仰角之和要么大于90°,要么小于90°.
只要教师做有心人,精心设计,课本中的数学问题大都可挖掘出生活模型,选择紧贴社会实际的典型问题深入分析,逐渐渗透这方面的训练,使学生养成自觉地把数学作为工具来用的意识.在这一过程中,既培养了学生应用意识和应用能力的目的,又活跃了课堂教学活动,容易引发学生的学习兴趣.
3.2从生活中的数学问题出发,强化应用意识
日常生活是应用问题的源泉之一,现实生活中有许多问题可通过建立中学数学模型加以解决,如合理负担出租车资,家庭日用电量的计算,红绿灯管制的设计,登楼方案,住房问题,投掷问题等,都可用基础数学知识,建立初等数学模型,加以解决.
例2:某建筑工地要挖一个横截面为半圆的柱形土坑,挖出的土只能沿AP,BP运到P处(如图),其中:AP等于100米,BP等于150米,∠APB等于60°,请问怎样运土才能最省工
分析:"省工"的数学语言是:到P的距离最近,∴半圆中的点可分为3类:(1)沿AP到P较近,(2)沿BP到P较近,(3)沿AP,BP到P等距.其中第三类点集是(1),(2)类点集的交集(分界线).设M为分界线上的任一点,则|MA|+|AP|等于|MB|+|BP|,∴|MA|-|MB|等于|PB|-|PA|等于50(定值),∴M在以A,B为焦点的双曲线右支上,易得.以AB为轴,AB中垂线为轴建立直角坐标系,得边界线为双曲线上弧:.故运土时在双曲线弧左侧的土沿AP运到P处,右侧的土沿BP运到P处最省工.
只要结合数学课程内容,适时引导学生考虑生活中的数学,会加深对数学知识的理解和运用,恰当地将其融入课堂教学活动中,会增强数学应用的信心,获得必要的应用技能.
3.3以社会热点问题出发,介绍建模方法
国家大事,社会热点,市场经济中涉及诸如成本,利润,储蓄,保险,投标及股份制等,是中学数学建模问题的好素材,适当的选取,融入教学活动中,使学生掌握相关类型的建模方法,不仅可以使学生树立正确的商品经济观念,而且还为日后能主动以数学的意识,方法,手段处理问题提供了能力上的准备.
例3:广渝高速公路指挥部接到预报,24小时后将有一场超历史记录的大暴雨,为确保万无一失,指挥部决定在24小时内筑一道堤坝以防山洪淹没正在紧张施工的华蓥山隧道工程.经测算,其工程量除现有施工人员连续奋战外,还需要20辆翻斗车同时作业24小时.但是,除了有一辆车可立即投入施工外,其余车辆需从各处紧急抽调,每隔20分钟能有一辆车到达并投入施工.已知指挥部最多可组织到25辆车,间24小时内能否完成防洪堤坝工程说明理由.
"可以设想,计算者感受到形势的危急和责任的重大,周围是热切期盼的目光,数学与生命财产连在一起:必须尽快算出来,算准确.如果几个小时后才算出来,那就没用了！算错了,其后果将是灾难性的.当你断定:没问题！大家该会多么兴奋,多么感激."几句话,让学生顿感学好数学的重要性,更多的人则拿起笔演算起来.但是,建立什么模型,题目中没有任何暗示,要求较高.此时再详细介绍数学建模的方法,无疑会收到事半功倍的效果.
解答一个应用问题重点过好三关:
(1)事理关:读懂题意,知道讲的是什么事件.
(2)文理关:需要将"问题情景"的文字语言转化为数学的符号语言,用数学式子表达关系.
(3)数理关:在构建数学模型的过程中,要求学生有对数学知识的检索能力,认定或构建相应的数学模型,完成由实际问题向数学问题的转化,此后解答过程也需要比较扎实的基础知识和较强的数理能力.
解:(1)读题:分为读懂和深刻理解两个层次,把"问题情景"译为数学语言,找出问题的主要关系(目标与条件的关系):各车的工程量之和不小于欲完成的工程总量20×24(车·小时).
(2)建模:把问题的主要关系近似化,形式化,抽象成数学问题.设从第一辆车投入工作算起,各车的工作时间为小时,依题意,这些数组成一个公差为(小时)的等差数列,且.(1)
(3)求解.把数学问题化归为常规问题,选择合适的数学方法求解.本题有两种方案:
方案1:由20辆车同时工作24小时可以完成全部工程知,每辆车,每小时的工作效率为,若在24小时内能完成全工程,则(2),即
,从而,由于,可见的工作时间满足要求(1),即工程可以在24小时内完成.
方案2:当时,应有,即,将
代入得:25×20≥480,可见25辆车陆续投入作业可以完成20辆车同时作业24小时的工程量.
(4)评价.对结果进行验证或评估,对错误加以调节(此为解题者的自我调节),最后将结果应用于现实,作出解释或预测.本例上述两种解决方案的最后一句话即为评价过程.
本例是我们在1999年学习数列,不等式后,结合正在我县修建的广渝高速公路的瓶颈工程----华蓥山隧道工程(为全国最长的公路隧道)为背景,以1998年的抗洪斗争为实际编拟的,不仅使学生从中学到数学建模的方法,也让学生受到德育教育,体现了数学的社会化功能.
3.4通过实践活动或游戏中的数学,从中培养学生的应用意识和数学建模应用能力
利用课外活动时间开展实践活动课,把它作为建模教学不可分割的部分.
例4:尽可能选择较多的方法测量学校或居住地的一座最高的建筑物的高.(本文方法从略)
这是一道开放型的建模题,初看难度不大,但难于下手,经分析,讨论,中学生会想出许多方法,教师应注意总结,与学生一起评价各个模型是否切实可行,从而提高建模兴趣与能力.
喜爱游戏是青少年的天性,数学游戏有丰富的素材,如幻方,九连环,称球,抢38,速算等,还可结合教材内容适时提出游戏规则,让学生在做游戏的过程中学到数学知识,数学方法和数学思想,从中引导学生探寻数学模型,对数学学习的潜在影响很大.
3.5从其它学科中选择应用题,培养学生应用数学工具解决该学科难题的能力
现代科学技术的发展,使数学敞开了一个又一个沉睡于定性分析的科学大门,促进了各学科的数学化趋势.中学数学教学中,应注重适时选取其它学科的应用题,通过构建模型,利用数学工具,解决其它学科的难题.
例5:重量为G牛顿的重物挂在杠杆上距支点O为米处.杠杆质量分布均匀,单位长度上的重量为q牛顿,问:杠杆应当多长,才能使加在另一端用来平衡且与杠杆垂直的力F为最小(如图).
分析:杠杆在三个力作用下平衡,即重物G的力矩,外力F的力矩,杠杆自重的力矩.设杆长为L,则杆的重量G'等于qL,其重心在处,力矩平衡方程为:
,即(定值),当且仅当即时,F为最小.
由此例知,很多物理题目看上去很难做,但变成数学问题后就显得简洁了.其实何止是物理,中学阶段的化学,生物等都离不开数学.
3.6探索数学应用于跨学科的综合应用题,培养学生的综合能力和创新能力,提高学生的综合素质
针对3+X高考新模式,进行"综合科目"考试,数学建模教学无疑将起重要作用.综合能力测试题知识交叉,渗透较广,但命题时往往以某一学科为背景,交叉渗透其它学科的知识,具有多样性,复杂性,综合性.利用建模的思想方法,在解题过程中,根据客观条件的发展和变化,往往可机智灵活地寻找到解决问题的新方法和新途径,有利于创新思维的培养.
例6:如图,一辆小车在轨道AB上行驶速度等于50km/h,在轨道以外的平地上行驶的速度等于40km/h,在离轨道垂直距离为PM等于30km处有一仓库P,有一辆小车从距离M点100km的A处行驶到仓库P至少要用多少时间
分析:逆向思维.将运动方向倒过来,则问题变成小车从P点怎样行驶到A点用时最省.联系物理中的光学模型,光总是选择用时最短的路径传播.所以本题可转化为光的全反射的临界状态,作该图的光传播图,由光的折射定律得:,这样问题迎刃而解.在Rt△PMO中,PM等于30km,∴等于40km,PO等于50km,OA等于100-40等于60km.因此,花费时间h.由此,将一个比较复杂的数学行程问题转化为物理中的光学模型,使问题迎刃而解.
例7:用质量为的铁锤沿水平方向将质量为,长为的铁钉敲入木板,铁锤每次以相同的速度击钉,随即与钉一起运动并使钉进入木板一定距离.在每次受击进入木板的过程中,钉受到的平均阻力为前一次受击进入木板过程所受平均阻力的倍(>,1).
(1)若敲击三次后钉恰好全部进入木板,求第一次进入木板过程中所受到的平均阻力.
(2)若第一次敲击使钉进入木板深度为,问至少敲击多少次才能将钉全部敲入木板并就你的解答讨论要将钉全部敲入木板,必须满足的条件.
分析:将物理语言翻译成数学语言,列出六个方程:
,,,
,
解方程组:,,
.用等比数列求和建立一个指数方程:,
,解这个指数方程,
.找出一层制约关系,讨论出要将钉全部敲入木板,钉第一次被敲入木板深度必须满足的条件.∵对数的真数必须大于0,∴(8)式中应满足,∴.
从上看出,此题的难度不在于物理知识,而是在数学应用上要"过五关,斩六将".
以上仅是我们几年来开展中学数学建模教学的一些做法,远未达到完善的程度,希广大同行不吝赐教.
江苏省邳州市陆井中学袁银宗
解决简单的实际问题是大纲规定的教学目的之一,数学建模就是将具有实际意义的应用题,通过数学抽象转化为数学模型,以求得问题的解决.选取若干范例,对其建模类型略陈管见,供参考.
一,建立几何模型诸如工程定位,边角余料加工,拱桥计算,皮带传动,修复破残轮片,跑道的设计与计算等应用问题,涉及一定图形的性质常需建立几何模型,转化为几何问题求解.
例1如图1,足球赛中,一球员带球沿直线l逼近球门AB,他应在什么地方起脚射门最为有利
分析这是几何定位问题,根据常识,起脚射门的最佳位置P应该是直线l上对AB张角最大的点,此时进球的可能性最大,问题转化为在直线l上求点P.使∠APB最大.为此,过AB两点作圆与直线l相切,切点P即为所求.当直线l垂直线段AB时,易知P点离球门越近,起脚射门越有利.可见"临门一脚"的功夫理应包括选取起脚射门的最佳位置.
二,建立三角模型对测高,测距,航海,燕尾槽,拦水坝,人字架的计算等应用问题,则可建立三角模型,转化为解三角形问题.
例2海中有一小岛A,它周围8海里内有暗礁,渔船跟踪鱼群由西向东航行,在B点测得小岛A在北偏东60°,航行12海里到达D点,这时测得小岛A在北偏东30°.如果渔船不改变航向,继续向东捕捞,有没有触礁的危险
简析根据题意作出如图2的示意图,继续航行能否触礁,就是比较AC与8的大小.问题转化为解直角三角形,求AC的长.
AC
对这类问题中涉及到的测量专用名词的含义及测量仪器的使用,教学中应予以重视.
三,建立方程模型对现实生活中广泛存在的等量关系,如增长率,储蓄利息,浓度配比,工程施工及人员调配,行程等问题,则可列出方程转化为方程求解问题.
例3某家俱的标价为132元,若降价为9折出售即优惠10%),仍可获利10%(相对于进资价).求该家俱的进货价. 简析设该家惧的进货价为x元.则问题转化为求方程
例4如图3(1),在宽为20m,长为32m的矩形耕地上,修筑同样宽的三条道路(两条纵向一条横向且横向与纵向互相垂直).把耕地分成大小相等的六块作实验田,要使实验地面积为570m2,问道路应为多宽(1997年安徽省中考题)
简析如图3(2).作整体思考,设道路的宽为xm,则问题转化为求方程(20-x)(32-2x)等于570的解,解得x1等于1,x2等于35(不合题意,舍去).
上述三种建模类型是初中教材中涉及最多的,也是学生感知最为丰富的现实原型.
四,建立直角坐标系模型当变量的变化具有(近似)函数关系,或物体运动的轨迹具有某种规律时,可通过建立平面直角坐标系,转化为函数图象问题求解.
例5在如图4所示的自动喷灌设备中,喷出的水流呈现抛物线状.设水管AB高出地面1.5米.水流最高点C比喷头B高2米,且与B点连线夹角与水平面成45°,求水流落地点到A点的距离.
简析因水流路线是抛物线,可建立如图4所示的平面直角坐标系,问题转化为求抛物线与x轴交点的横坐标.由已知条件可求得抛物
对于飞机投物,射击,投篮,平抛等问题,其物体运动的轨迹都是抛物线,往往可转化为二次函数图象问题去解决.当变量之间具有线性关系时,则可转化为直线或平面区域问题去解决.五,建立目标函数模型对于现实生活中普遍存在的最优化问题,如造价用料最少,利润产出最大等,可透过实际背景,建立变量之间的目标函数,转化为函数极值问题.
例6某商店如将进货价为8元的商品按每件10元出售,每天可销售200件,现在采用提高售价,减少进货量的方法增加利润,已知这种商品每涨价0.5元,其销售量就减少10件,问应将售价定为多少时,才能使所赚利润最大,并求出最大利润.
简析设每件售价提高x元,则每件得利润(2+x)元,每天销售量变为(200-20x)件,所获利润y等于(2+x)(200-20x)等于-20(x-4)2+720.故当x等于4时,即售价定为14元时,每天可获最大利润720元.
函数关系是普遍存在的,所呈现的函数关系也并非都是二次的.因此建立目标函数模型的应用十分广泛.
六,建立不等式模型在市场经营,生产决策和社会生活中,如估计生产数量,核定范围,盈亏平衡分析,投资决策等,则可挖掘实际问题所隐含的数量关系,转化为不等式(组)的求解或目标函数在闭区间的最值问题.
例7某工厂生产的产品每件单价是80元,直接生产成本是60元,该工厂每月其它总开支是50000元.如果该工厂计划每月至少要获得200000元利润,检测定生产的全部产品都能卖出,问每月的生产量应是多少
简析设每月生产x件产品,则总收入为80x,直接生产成本为60x,每月利润为80x-60x-50000等于20x-50000.问题转化为求不等式20x-50000≥200000的解.解得x≥12500(件).
数学建模问题是用数学知识和数学方法解决实际生活中各种各样的问题,是一种创造性的劳动,涉及到各种心理活动,心理学研究表明,良好的心理品质是创造性劳动的动力因素和基本条件,它主要包括以下要素:(1)自觉的创新意识,(2)强烈的好奇心和求知欲,(3)积极,稳定的情感,(4)顽强的毅力,(5)独立的个性,(6)强烈而明确的价值观,(7)有效的组织知识.许多学生由于不具备以上良好的心理品质,因而对解决实际问题信心不足.
2,对实际问题中一些名词术语不熟悉
由于数学应用题中往往有许多其它知识领域的名词术语,而学生从小到大一直生长在学校中,与外界接触较少,对这些名词术语感到很陌生,不知其意,从而也就无法读懂题,正确理解题意.比如实际生活中的利率,利润,打几折,保险金,保险费,纳税率,折旧率等概念,这些基本概念的意思都没搞懂,那么,涉及到这些概念的实际问题就谈不上如何去理解题意,更谈不上解决问题.
例如:陈某计划向银行贷款10万元购车,计划用四年时间逐月等额归还,请你根据"购车贷款年期利率一览表,计算陈某从月初贷款到次月初开始还款,每月还款数目.
购车贷款年期利率一览表:
贷款年期利率1年5.85℅2—3年5.94℅4—5年6.03℅本问题涉及到学生不太熟悉的名词术语有:贷款,购车贷款年期利率一览表,利率,月利率,若让学生自己到银行调查,把这些名词的意思完全弄明白后,教师再分析讲解,学生就易搞懂了,同时也充分显示了用数学知识解决实际问题的合理性.
3,对实际问题中庞杂数据的处理缺乏适当的方法
许多实际问题中,涉及到的数据多且杂乱,学生面对如此多而杂乱的数据感到无从下手,不知该把哪个数据作为思维的起点,从而找不到解决问题的突破口.
例:在车站开始检票时,有a(a>,0)名旅客在候车室排队等候进站.检票开始后,仍有旅客来排队进站.设旅客按固定的速度增加,检票口的速度也是固定的.若开一个检票口,则需30分钟才可将排队等候检票的旅客全部检票完毕,若开放两个检票口,则只需10分钟便可将排队等候的旅客全部检票完毕,如果要在5分钟内将排队等候检票的旅客全部检票完毕,以使后来到站的旅客能随到随检,至少要同时开放几个检票口
在此问题中,涉及到的量有:原有旅客a名,旅客增加的速度固定,检票口的速度固定,开1个检票口检票时间30分钟.开2个检票口检票时间10分钟,开若干个检票口检票时间5分钟以内.在这诸多的量中,到底从哪个具体的量入手解决问题如何正确去用这些已知量解决问题,许多学生是一片茫然.
4,对实际问题转释为数学问题缺乏经验
数学模式呈现的形式是多种多样的,有的以函数显示,有的以方程显示,有的以图形显示,有的以不等式显示,有的以概率统计显示.当然,还有其它各种形式的模型,具体到一个实际问题来讲,判断这个实际问题与哪类数学知识相关,用什么样的数学方法解决问题,是学生深感困难的一个环节.
例如:1992年初某一万人口的贫困地区为了脱贫致富奔小康,该地区政府把人口增长率控制为2℅,并且利用当地资源优势创办一家企业,这家企业1992年创利润90万元,自1993年开始每年实现利润为前面所有年利润总和的该地区2000年底除上述这家企业外的经济收入可达3000万元.问到2000年底该地区人民生活能达到"人均年收入5000元"的小康线吗
∣a∣<,0.003时,可采用近似公式(1+a)n1+na
根据调查结果,学生阅读了以上题目后,问其联想到了什么数学知识,许多学生答不出来,其主要原因就是学生存在把普通语言转换为数学语言的转换障碍.数学语言主要指数学文字语言,图形语言和符号语言,是数学区别于其它学科的显着特征.数学语言简练,抽象,严谨,甚至有些晦涩.如"函数y等于f(x)",形式简练,但十分抽象,许多学生由于过不了数学语言关,符号化意识弱,无法把普通语言转化成数学语言,从而无法将实际问题抽象成数学式子.
针对以上学生建模障碍,我认为在平时的应用数学题中应重视数学应用意识的培养,重视"数学用于现实"的思想教育,在具体的教学中,重视影响数学能力的诸多因素如数学语言,阅读理解等的有计划,有针对性的训练和培养.具体地讲,要抓好以下几方面的教学.
1,加强对学生解决实际问题的自信心的培养
一个人的自信心是他能有效地进行学习的基础,更是他将来能适应经济时代的必备心理素质,基于这样一个事实,许多国家都把对学生自信心的培养作为数学教育的一个基本目标.因此,在平时的教学中,应加强实际问题的教学,使学生从自身的生活背景中发现数学,创造数学,运用数学,并在此过程中获得足够的自信.
例如我曾经让学生分组做这样一个实验:找5根长短不等的木棒,在有太阳的时候同时测量这5根木棒的长度以及直立时它们的阴影的长度,同时测量出一座建筑物的高度,通过研究找出物体高度与它们的阴影的长度之间的关系,并计算出建筑物的高度,写一篇实验小论文.这个实验让学生非常感兴趣,激起了学生强烈的好奇心和求知欲,不用老师强制要求,学生们纷纷做起了实验,并得出了规律写出了实验小论文.从这个例子可以看出,教师在教学中如果注意联系身边的事物,让学生体验数学,并尝到成功的乐趣,对激发学生的数学兴趣,培养学生的数学应用意识以及解决实际问题的自信心是非常重要的.
2,强化阅读理解能力的培养,并使学生学会"数学地"阅读材料,理解材料.
通过数学阅读,能促进学生语言水平的发展以及认知水平的发展,有助于学生探究能力的培养和自学能力的培养,通过数学阅读,有助于学生更好地掌握数学.苏联着名数学教育家斯托利亚尔指出:"数学教学也就是数学语言的教学",因此,从语言学习的角度讲,数学教学也必须重视数学阅读.作为数学教师,不仅要重视培养学生的阅读能力,还要注重教给学生科学有效的数学阅读方法,让学生也认识到数学阅读的重要性,使学生体验到数学阅读的乐趣及对学习的益处,从而在兴趣及利益的驱动下,自觉主动的进行数学阅读.
具体地讲,强化阅读理解能力的培养,教学时要注意以下几方面:(1)让学生学会说题.所谓说题,就是让学生通过阅读题目后,进行分析思考,说出题目所提供的信息条件,现象过程,解题思路及应采用的规律方法等等.教学中可让学生通览全题说题目要素,也可让学生剖析字句,说题目条件,还可让学生形成解题思路后,说解题步骤.(2)组织适当的课堂讨论.课堂讨论常常需要教师给出一个中心议题或所要解决的问题,学生在独立思考的基础上,以小组或班级的形式围绕议题发表见解,互相讨论.实践证明,课堂讨论为师生之间,同学之间的多向交流提供了一个很好的环境.讨论时学生独立活动的自由度增大,可以运用数学语言进行提问,反驳,论证,收集资料,统计数据等多种活动,并与别人的思想进行比较,以达到更深层次的理解和掌握.因此,课堂讨论不仅适合培养学生的交流能力,还有助于激发学生的学习兴趣,增进对知识的理解.(3)创设写数学的机会.让学生"写数学",就是要学生把他们学习数学的心得体会,反思和研究结果用文字的形式表达出来,并进行交流.例如,可让学生写知识小结,解题反思,调查报告和小论文等等.这样做不仅可以提高学生的数学写作,阅读和理解能力,而且可以进一步提高学生的数学学习水平与探索研究能力.
3,构建知识网络,强化从整体的角度选择思维起点的能力
数学实际问题最突出的特点是数据多,变量符号(字母)多,数量关系隐蔽,而且数据具有"生活实际"的本来面目,并非"纯数学化"的数据.学生对数据的感悟能力较差,对己知与所求之间的数量关系比较模糊,如果从局部入手,则头绪纷繁,不易突破,但若能从客观上进行整体分析,抓住问题的框架结构和本质关系,常能出奇制胜,找到解决问题的方法.具体的讲可以运用数据表格整合信息,理顺数量间的关系,从而建立相应的数学结构,突显数学"建模".
例如:在上面的检票问题中,我们从整体上进行分析,可知:本题涉及的工作是检票,方式有三种:一是开1个检票口,二是开2个检票口,三是开n个检票口.而每种检票方式涉及到以下这些量:旅客原有人数,旅客增加速度,旅客增加人数,一个检票口的检票速度,被检票的旅客人数,检票时间,我们可把整体分析的结果用一表格直观地表示如下:
旅客原
有人数旅客增加速度
(人\分钟)旅客增
加人数1个检票
口的速度检票人数
时间
开1个检票口ax30xy30y30开2个检票口ax10xy2x10y10开几个检票口ax5xyn.5y5
a+30x等于30y
由题意有a+10x等于2x10y
a+5x≤n.5y
解得n≥3.5n取最小正整数
n等于4
即:至少需开4个检票口.
4,加强数学语言能力的培养.
对学生数学语言能力的培养包括两方面内容:一是掌握数学语言,包括:①接受—看(听)得懂,能识别,理解,解释弄清数学问题的语言表达,并能转化为具体的数学思想,能用自己的语言复述,表达.②表达—写(讲)得出,能将自己解决数学问题的观点,思想,方法,过程用恰当的数学语言准确流畅地表达出来,并且在表达中名词,术语规范,准确,合乎逻辑.二是帮助学生掌握好非数学语言与数学语言之间,各种数学语言的互译,