数学建模

摘 要：当分析和研究一个实际问题时,可以把它归结于一个具体模型,模型是为了一定目的,对客观事物的一部分进行简缩、抽象出来的原型的替代物.模型集中反映了原型中人们需要的那一部分特征.人们在深入调查研究、了解对象信息、作出简化检测设、分析内在规律等工作的基础上,然后用数学的语言,把它表述为数学式子,也就是数学模型.本文将简单地介绍数学模型的含义、建模的过程及应用,让大家可以进行数学建模来解决一些简单问题.

关 键 词：数学模型；建模；应用

一、数学模型

生活中有许多的模型,并且是多种类型的.比如说玩具、照片、飞机等实物模型,水箱中的舰艇、风洞中的飞机等物理模型.这些模型是我们进行数学建模时所必需的.

数学模型是一种模拟,是用数学符号、程序、图形等对实际课题本质属性的抽象而又简洁的刻划,它或能解释某些客观现象,或能为控制某一现象的发展提供某种意义下的最优策略或较好策略.数学模型一般并非现实问题的直接翻版,它的建立常常需要人们对现实问题深入细微的观察和分析,也需要人们灵活巧妙地利用各种数学知识.

二、数学建模

数学建模就是建立数学模型,建立数学模型的过程就是数学建模的过程.数学建模是运用数学的语言和方法,通过抽象、简化建立能近似刻画并“解决”实际问题的一种强有力的数学手段.要描述一个实际现象可以有很多种方式,比如录音,录像等等.但为了使描述更具科学性,逻辑性,客观性,人们采用一种普遍认为比较严格的语言来描述各种现象,这种语言就是数学.使用数学语言描述的事物就称为数学模型.

应用数学去解决各类实际问题时,建立数学模型是十分关键的一步,同时也是十分困难的一步.建立教学模型的过程,是把复杂的实际问题简化、抽象为合理的数学结构的过程.要通过调查、收集数据资料,观察和研究实际对象的固有特征和内在规律,抓住问题的主要矛盾,建立起反映实际问题的数量关系,然后利用数学的理论和方法去分析和解决问题.接下来介绍一下数学建模的基本方法,数学建模的基本方法一般有机理分析,测试分析,二者结合等,机理分析就是根据对客观事物特性的认识,找出反映内部机理的数量规律.机理分析有以下几种具体的方法：1.比例分析法――建立变量之间函数关系的最基本最常用的方法.2.代数方法――求解离散问题的主要方法.3.逻辑方法――是数学理论研究的重要方法,对社会学和经济学等领域的实际问题有广泛应用.测试分析就是将对象看作“黑箱”,通过对测量数据的统计分析,找出与数据拟合最好的模型.测试分析有以下具体的方法：1.回归分析法――用于对函数f（x）的一组观测值（xi,fi）i等于1,2,等,n,确定函数的表达式.2.时序分析法――处理的是动态的相关数据.所谓二者结合就是用机理分析建立模型结构,用测试分析确定模型参数.

三、模型准备

下面就以生活中的实例来阐述模型准备过程.问题是椅子能在不平的地面上放稳吗?数学建模的过程通常有问题分析,模型检测设,模型建立,模型求解,模型分析,模型检验.

1.问题分析：通常椅子三只脚着地是不稳的,四只脚着地是稳定的.所以椅子能否在不平的地面上放稳,只需要知道椅子的四只脚能否一起着地（即椅脚与地面的距离和为零）.

2.模型检测设：根据实际对象的特征和建模的目的,对问题进行必要的简化,并用精确的语言提出恰当的检测设.在这里我们检测设椅子的四条腿一样长,椅脚与地面点接触,四脚连线呈正方形；地面高度连续变化,可视为数学上的连续曲面；地面相对平坦,使椅子在任意位置至少三只脚同时着地.

3.模型建立

在检测设基础上,利用适当的数学工具刻划各变量之间的数学关系,建立相应的数学结构.在这里就是用数学语言把椅子位置和四只脚着地的关系表示出来.

在这里我们先利用正方形（椅脚连线）的对称性来确定椅子的位置.用θ（对角线与x轴的夹角）表示椅子位置.椅脚与地面的距离是θ的函数.设A,C两脚与地面距离之和f（θ）,B,D两脚与地面距离之和g（θ）.由地面高度连续变化可以知道f（θ）与g（θ）是连续变化的函数.再由椅子在任意位置至少三只脚同时着地可以知道对任意,f（θ）,g（θ）至少一个为0.而由问题分析可知椅子放稳只需要f（θ）,g（θ）都等于0即可.

所以现在一个生活中的实例问题已经装化成一个简单的数学问题：

已知：f（θ）,g（θ）是连续函数,对任意θ,f（θ）g（θ）等于0且g（0）等于0,f（0）>0.证明：存在α,使f（α）等于g（α）等于0.

4.模型求解

利用获取的数据资料,对模型的所有参数做出计算.

将椅子旋转90度,对角线AC和BD互换.

由g（0）等于0,f（0）>0,知f（∏/2）等于0,g（∏/2）>0.

令h（θ）等于f（θ）g（θ）,则h（0）>0和h（∏/2）<0.

由f,g的连续性知h为连续函数,据连续函数的基本性质,必存在α,使h（α）等于0,即f（α）等于g（α）.因为f（θ）g（θ）等于0,所以f（α）等于g（α）等于0.

5.模型分析：对所得的结果进行数学上的分析.对上述的θ,f（θ）和g（θ）的确定是关键.

6.模型检验：把求解和分析结果翻译回到实际问题,与实际现象、数据进行比较,检验模型的合理性与适用性.

四、数学建模应用

近半个多世纪以来,随着计算机技术的迅速发展,数学的应用不仅在工程技术、自然科学等领域发挥着越来越重要的作用,而且以空前的广度和深度向经济、金融、生物、医学、环境、地质、人口、交通等新的领域渗透,所谓数学技术已经成为当代高新技术的重要组成部分.不论是用数学方法在科技和生产领域解决哪类实际问题,还是与其它学科相结合形成交叉学科,首要的和关键的一步是建立研究对象的数学模型,并加以计算求解.人们常常把数学建模和计算机技术在知识经济时代的作用比喻为如虎添翼.