高中数学建模

摘 要：从减轻学生的学习负担,提升学生的数学能力,提高高中数学教学效率等角度来看,数学建模也担负着相当重要的作用.本文从三个方面探讨了在高中数学教学中如何实施数学建模.

关 键 词：高中数学；建模；思考

数学建模被认为是数学区别于其他学科的重要特征之一,对数学及其教学有点研究的人基本都知道数学建模这个概念.在课程改革之前,数学建模就受到高中数学教学界的普遍重视,包括数学建模在内的学科建模丛书成为当时教师的热门选择.进入课程改革之后,尽管课程标准中仍然保留着数学建模的教学要求,但由于人们更热衷于讨论教学方式的转变、教学理念的更新等,数学建模相对显得有些被冷落了.但事实上,作为数学教学的核心内容,数学建模是数学教学中的重要基础,也是学生提升数学学习能力和数学素养的重要方式.一言以蔽之,“凡是有数学的地方就有数学建模”.

在高中数学教学中,由于数学内容的循序渐进性,很多数学概念、定理、法则的形成都具有一些共同点,也就是说不同的数学概念的得出有时仿佛是走的同一条道路,因此“历史总是惊人地相似”这句话有时竟也非常适用于数学概念、定理或法则的形成；又由于不同数学知识之间的相互联系性,很多数学问题又都具有类似的解题思路,也就是说看起来不是同一领域的数学问题,但在分析解决的思路上却又是相同的,看似殊途,实则同归.

事实上,正是因为这些共同点的存在,才形成了高中数学教学中进行数学建模的内容基础和方法基础.同时从减轻学生的学习负担,提升学生的数学能力,提高高中数学教学效率等角度来看,数学建模也担负着相当重要的作用.因为一个数学模型的建立,用到大量的数学知识和数学思想,它具有极强的综合性.在教学实际中,笔者根据自身的观点,认为要想成功地建立、理解、运用数学模型,可以从以下几个方面来进行.

[]什么是数学建模

从字面上来看,建模就是建立模型.只是数学建模与一般意义上的建立模型不同,因为其一般不是建立实际的模型,如长方形、立方体等,而是指基于数学特质,建立一套适合于数学思考的思维模型,这种模型既然是思维的结果,自然也就以一种抽象的形态存在于数学研究者的思维当中,至于具体的实物模型一般是没有的,就算是有,也是数学研究者思维结果的物质体现.

具体地说,就是数学研究者通过思维活动,将生活中的事物进行抽象――去掉其中非关键的要素,保留其中关键的要素,最终建立起一套利用数学语言描述现实中的数量关系与空间形式的过程.这个过程中,由于抽象思维的参与,因此与数学无关的因素都被忽略,而与数学有关的因素都被保留了下来.而这样的抽象结果在得到了验证之后,就可以得到一个稳定的数学结构.又因为这个数学结构在一定范围内具有较强的代表性,所以其将成为其他数学问题解决的重要载体.我们有时候说数学具有简洁的特点,就是因为众多数学现象背后有着共同的数学模型.

数学建模作为思维的结果,其一般存在于学生的思维当中,存在形式就是思维表象,或者说是某种数学图景.那么,这个数学图景的形成需要经历怎样的抽象过程呢?研究相关理论我们可以发现,作为一种数学学习方法,高中数学建模的过程应当包括这样几个方面：一是学生根据学习内容和建模需要,分析其中的主要数学因素与非数学因素并进行取舍,在头脑中初步构建模型,这是模型构思阶段；二是根据初步构建的数学模型,选择适当的数学工具在选择出来的数学因素之间建立起数学关系,并通过关系的梳理建构数学结构,这是模型的建立阶段；三是将模型初步应用于新的情境当中,看建立的模型能否接受新的数学问题的检验,如果有问题则需要经历前面一个循环过程,如果没有问题则说明模型建立得相对成功.这是模型的验证阶段；四是将模型正式迁移到其他数学问题当中,用于对新问题进行解释,这是模型的应用阶段.

值得注意的是,不同领域的数学知识需要建立不同的数学模型,建立模型的方法也不尽相同,但大体思路一致.且严格来说,任何一个数学模型都有异于其他数学模型的地方,因此在数学建模当中要具有现象学的观点,因材而异.有人说,数学模型的独立性与一致性是一个问题的两个方面,相当于一个硬币具有的正面与反面.

[]高中数学建模对学生数学能力发展的思考

数学建模的意义是不言而喻的,在高中数学教学中建立模型自然也是必要的.笔者这两年对数学建模有所思考并不断地将自己的想法通过教学实施来验证,应该说带给我们的思考还是非常多的,具体说来有这样几个方面.

首先,数学建模能够有效地培养学生的应用意识.应用意识是高中数学的一个重要目标指向,也是数学学以致用的价值体现.具有应用意识与能力的学生,往往能够在实际问题与数学知识之间迅速地建立一种联系,有助于学生巩固所学数学知识,有助于提高学生的数学问题解决能力.在这种意识形成过程中,数学建模能够起到非常明显的作用.例如,大家所熟知的最短路径问题,包括两个位置之间最短距离的问题（具体的实际问题情境一般高中数学同行都是烂熟于心的,这里就不赘述了,下同；可以建立成两点之间直线最短的模型）,三个位置之间的最短距离问题（可以建立成三点之间距离之和最短的模型）,两个位置到一条道路或河流的距离之和最短的问题（可以建立成两点到一线的距离模型）,蚂蚁爬圆柱问题（可以建立成寻找圆柱上下底面两点间的最短距离问题）,淋雨多少与速度是否有关问题（可以建立成矢量三角形模型）等通过将这些实际问题或类实际问题进行抽象加工,使之成为数学模型.通过这一个过程深化与丰富,可以有效地培养学生数学建模的能力,而在这个能力形成的过程中,当然也就培养了学生的数学应用意识和问题解决能力.

其次,数学建模能够培养学生的数学语言运用能力.数学本身是一个符号世界,其抽象性也就体现在这个方面.而数学建模的过程一般都是一个比较复杂的思维过程,在建模过程中往往靠个体的力量不容易成功,这个时候就需要学生之间进行合作学习,而合作学习的基础就是学生间的有效交流.在数学建模过程中,为了将自己的思考表述出来,就需要通过语言组织将自己的数学思考与他人分享,在这个过程中学生会经历一个即时、迅速、复杂的数学思维语言化的过程.根据我们的教学经验,学生在这个过程中往往会表现出非常复杂的思维过程,这里所说的复杂主要是指学生的表达总是从生疏走向熟练、从不准确走向准确,而这个过程又是小组内学生共同促进的结果.同时,对于数学模型的解释、解读,以及运用过程中必然也会涉及表述等问题,因此数学语言将是围绕数学模型展开的一个重要内容,因此笔者总体感觉到这样的过程能够促进学生对数学语言掌握的熟练化.再次,数学建模能够培养学生良好的直觉思维能力.思维能力是数学教学的核心,我们的数学教学如果说超越知识层面来培养学生的话,那就是培养学生的思维能力.而根据对心理学的相关知识的学习,我们可以说人的思维可以分为形象思维（小学、初中阶段的主要思维方式）、抽象思维（高中阶段的主要思维方式）和直觉思维三种阶段与形式.其中直觉思维被认为是最高形式的思维方式,其具体表现是学生能够在即时状态下对新事物迅速做出反应――反应速度越快,说明这位学生的直觉思维能力越强.在高中数学教学中,培养学生良好的直觉思维是必需的任务,而我们认为数学建模是能够发挥这样的作用的.翻开数学史,我们可以看到很多经典的数学发现,如笛卡儿坐标系等,都是直觉思维的产物.而在教学实践中,我们也发现现在的高中学生能够依托抽象思维建立出比较理想的数学模型,而经过坚持不懈的训练之后,就有可能形成良好的数学直觉.

[]高中数学建模的实施细节注意点

数学建模作为一项数学思维高度参与的活动,在具体的教学中要想真正做得很好是一件不容易的事情.除了对于数学建模的四个阶段要比较熟悉之外,在具体的实施中还有一些细节需要注意.

一是要充分运用好问题驱动.根据皮亚杰发生认识论的有关观点,只有在学生的认知平衡被打破时学生才会产生强烈的学习内驱力,而数学建模由于思维量大,因此必须以问题驱动才能保证整个过程的顺利实施.值得注意的是,这个问题必须是符合学生需要的问题,不一定是学生自己提出来的,但一定要保证提出之后学生是感兴趣的.

二是要充分增强学生的体验感.数学建模本质上是对实际事物或实际问题的抽象,而这就需要学生有充分的经验作为基础,经验来源于生活和体验,对于高中数学学习而言,更多的经验可以通过体验来生成.而这就需要我们在课堂上多创设能够让学生体验的情境,以生成相应的经验供数学建模中使用.

三是要注意数学建模的实施时机.作为一项规模较大（思维量大）的工程,数学建模在日常教学中频繁实施是不现实的,因此就需要我们寻找良好的教学契机,恰到好处地落实数学建模的思想.在应试压力仍然存在的现阶段,这是对高中数学教师的一个考验.

以上是笔者对高中数学建模的一点浅显思考,由于水平有限其中可能存在一些不甚恰当的地方,还请同行们批评并提出宝贵意见.