控制系统根轨迹的MATLAB辅助教学

摘 要：针对“自动控制原理”课程的抽象性与复杂性,将MATLAB语言应用于控制系统根轨迹的分析中,形象分析控制系统的稳定性以及增加零极点对系统性能的影响.仿真结果直观清晰,提高了该课程的教学效果和质量,增强了学生对抽象问题的理解,培养了学生的研究与创新能力,激发了学生对该课程的兴趣与理解,为自动控制原理多媒体辅助教学做出了有益的尝试与探索.

关 键 词：自动控制原理；根轨迹分析；MATLAB

中图分类号：G642文献标识码：A文章编号：1007-0079（2012）19-0043-02

“自动控制原理”是自动化及电类相关专业一门重要的专业基础课,是相关专业学生从事各种实际控制系统分析与设计的理论基础.该课程强调方法论,理论性非常强.该课程以高等数学、数理方法、信号与系统以及电机拖动等多门电学专业课为基础,讲述自动控制系统的基本概念、控制系统数学模型的建立、系统分析、系统设计等基础理论与技术.本课程的概念抽象、数学含量大、计算繁杂,而且相当部分控制系统的分析与综合以作图分析为基础,例如系统的根轨迹分析法尤其复杂.传统的教学主要通过在黑板上绘图和推导来实现,这对老师来说教学任务太重,而且往往绘图效果不甚理想；对学生来说,说教内容较多,图示直观性较差,容易产生烦躁情绪,影响理解效果.因此,该课程无论在教学的内容上还是教学方式上都急需更新.

国际自控联第四次控制教育研讨会上就把学生的软件技能和实际动手能力列为重要的教育目标,而世界各国在控制理论的教学中,均采用MATLAB及Simulink作为辅助教学软件.因此,近年来,为了适应专业教学改革的发展,电气与电子工程学院编写了适合学生知识理解与创新的新教材,该教材对经典自动控制原理内容进行了MATLAB辅助教学,培养了学生应用先进技术解决控制问题的能力.经过实际教学检验,该教学不但激发了学生学习“自动控制原理”课程的积极性,而且也培养了学生的创造性,加深了学生对理论内容的理解,达到了令人满意的教学效果.

本文介绍了控制系统根轨迹分析的MATLAB辅助教学,即利用MATLAB软件准确绘制控制系统的根轨迹,并通过根轨迹图分析系统的稳定性,分析增加零极点对系统性能的影响.

一、控制系统根轨迹稳定性分析

控制系统的根轨迹描述了系统开环传递函数中某个参数变化时,闭环极点在复平面上变化的轨迹.[1-5]通过根轨迹对控制系统进行性能分析时,往往最为关注的就是根轨迹上某些特殊位置点及其对应的参数值.利用控制系统的根轨迹分析系统的稳定性时,需要关注的特殊点就是系统根轨迹与虚轴的交点.由系统稳定的充要条件可知,根轨迹与虚轴相交点处,系统处于临界稳定状态.因此,确定控制系统稳定的参数取值范围的关键问题就是确定根轨迹与虚轴的交点及其交点处所对应的参数的值.

如果已知负反馈控制系统的开环传递函数为：

（1）

要求求取系统稳定时参数Kg的取值范围.在传统的授课方法中,首先要根据绘制法则绘制该系统的根轨迹,找出根轨迹与虚轴的交点,求得交点处参数Kg的值,从而确定系统稳定性参数Kg的取值范围.传统的求取方法计算量大、数学公式推导较多、步骤烦琐,使学生难于理解,心绪混乱.而利用MATLAB辅助教学手段可以将抽象的动态过程形象化.[6]MATLAB将计算、可视化、编程等基本功能都集成在一个易于使用的开放环境中,并提供功能极强的矩阵运算、图形绘制、数据处理能力和各种工具箱,具有较高的可信度和灵活的使用方法,非常适合自动控制原理的计算机辅助设计和教学.由于其具有强大的计算功能、丰富的图形表现力,不仅能轻而易举地绘制出这些曲线,而且能动态演示曲线的生成,由此,在教学中可以给学生留下深刻的印象,便于学生直观理解所学原理,使课堂教学的效率得到很大提高.

以上面题目为例,摒弃传统的板书绘图,直接通过MATLAB语句绘制出系统的根轨迹.首先定义系统如下：

num等于1；

den等于conv（[1,0],conv（[1,100],[1,50]））；

sys等于tf（num,den）；

然后利用命令rlocus（sys）可以很容易地绘制系统的根轨迹,如图1所.

从图中可以看出,轨迹与虚轴有交点,因此只要求得交点处Kg的值,就可以求得系统稳定时Kg的取值范围.利用指令[k,p]等于rlocfind（sys）即可求得与虚轴交点处Kg的值及其所对应的3个极点为：

k等于7.1320e+005

p等于-1.4864

-0.0068+0.6926i

-0.0068-0.6926i

因此,很容易便得出系统稳定时参数Kg的取值范围为：.

二、增加零极点对系统性能的影响

系统的性能取决于根轨迹的形状与位置,而根轨迹的形状与位置又取决于系统的开环零、极点.由此,可通过增加开环零、极点的方法改造根轨迹,从而改善系统的性能.在课程的理论学习中,通过公式的推导得出结论：增加开环零点可以使系统的根轨迹左移,提高系统的相对稳定性；增加开环极点可以使系统的根轨迹右移,降低了系统的稳定性.

为了使学生形象直观地了解零、极点对系统性能的影响,加深理论知识的理解,变抽象为生动,下面利用MATLAB软件对其进行形象化讲解.

例如,已知负反馈控制系统的开环传递函数为：

（2）

分别分析给系统增加一个开环零点-0.5、增加一个开环极点-1对系统性能的影响.

首先,利用MATLAB软件绘制原系统的根轨迹,如图2所示.从图中可以看出,系统属于结构不稳定系统,无论参数Kg为何值,系统均不稳定.

当给系统增加一个开环零点-0.5之后,再次绘制系统的根轨迹如图3所示.由图3可很直观地发现,增加一个开环零点后,系统的根轨迹左移,由原来的结构不稳定系统变成了参数稳定系统,系统的相对稳定性提高.当给系统增加一个开环极点-1之后,再次绘制系统的根轨迹如图4所示,由图4可看到,增加一个开环极点后,系统仍为结构不稳定系统,并且根轨迹右移,系统的相对稳定性变差.

通过以上分析可以发现,MATLAB软件可以将抽象复杂的问题形象化、简单化.它使用简单、方便,界面友好、直观,加之强大的绘图功能,有助于学生对基本概念的理解,使一些原本要经过烦琐的数学推导过程才能见到的效果,变得简单明快.在教学中,学生可以直观地看出参数变化对系统的影响以及各种方法的对比结果,大大提高了教学效率,增强了学生的学习兴趣.

三、结束语

由于MATLAB对计算结果显示的直观性、准确性和形象化,通过“自动控制原理”的MATLAB辅助教学,有效地帮助同学们更深刻、准确地理解、掌握和运用课程内容,极大地提高课程的教学效果.“自动控制原理”的MATLAB辅助教学实践让“理论+实践+能力”的新教学模式成为现实.

[6]李文磊,刘士荣,陈征,等.Matlab在自动控制理论实验中的应用[J].实验技术与管理,2006,23(2):68-71.

（责任编辑：宋秀丽）