本站原创近期,湖南省中小学教师继续教育指导中心根据教育厅领导的要求,组织一批教研人员和一线教师,在系统研究整理各学科的教学重点、难点及其教学实施问题,将作为今后一段时期中小学教师培训的重要内容.本人作为小学数学学科内容的审读人员,在阅审部分作者送来的初稿时,发现有的同志对什么是教学重点和难点?如何确立教学的重点和难点?在教学实践中怎样突出重点、突破难点等问题,并不是很明确.他们要求我就此开个讲座,我答应了他们的要求.现将我讲述的部分内容整理如下：
一、关于教学重点
(一)什么是重点?
从知识结构和体系来说,教学重点,是“在教材内容的逻辑结构的特定层次中占相对重要的前提判断”,也就是“在整个知识体系或课题体系中处于重要地位和突出作用的内容”.用著名特级教师叶季明先生的话说,数学教学重点是“数学知识发展中的飞跃,人们认识中的转折”.
从学生学习来说,教学重点就是学生必须掌握的基本知识、基本技能、基本思想和基本活动经验,如意义、法则、性质、计算方法还包括数量关系、解决问题的策略等.
可见,教学重点是教学内容本身所包含的,是内容体系中所固有的,不因学生的变化而变化.
(二)确定教学重点的依据
⒈课程目标
凡课程目标中明确需要“理解”“掌握”“运用”“体验”“探索”的内容,都是重点；在前期阶段只需“了解”,而后期需要达到“理解”等目标的内容也是重点.
⒉教材内容
如果说课程目标是确定重点的根本,那么深入钻研教材,弄清教材内容的内在联系,则是确立教学重点的基础.一般地说,在教材的内容结构中,处于内容链的前提知识点是后续知识学习的重点；处于内容网络中网线的交汇点都是重点.
例如：计数单位是认数教学的重点.
为什么?
一是课程目标中有明确的要求,即“理解数（整数、分数、小数）的意义”.数的意义是什么?数的意义主要是指某个数是由哪些数字和计数单位组成.
二是从知识结构来说,计数单位是数系中最基础最核心的概念,也是数运算的基础.自然数的计数单位是：一、十、百、千、万等,要明确某个自然数的意义,先必须明白这个自然数中所包含的计数单位.如,5,35,287.“5”是什么?“5”是由5个“一”组成；“35”是什么?“35”是由3个“十”和5个“一”组成；“287”是由2个“百”、8个“十”、7个“一”组成.分数的计数单位是“几分之一”,要明确某个分数的意义,先必须明确“几分之一”的意义,然后看这个分数是几个几分之一.如“”,是4个“”.小数也是一样,计数单位是0.1（1∕10）、0.01（1∕100）、0.001（1∕1000）等 如,0.679是由6个0.1（1∕10）、7个0.01（1∕100）、9个0.001（1∕1000）组成.
(三)突出教学重点的策略
⒈攒聚突出法
围绕教学的重点,采用不同的形式展开教学或训练.好像攒自行车辐条一样,每一根钢线都与中轴绷得紧紧的.教师在组织教学内容时要灵活调动教学内容,可以围绕中心问题合理变动顺序,力求从系统发展过程中突出中心环节,做到既有中心,又有向心力,使教学内容更加紧密地联系起来.
⒉完善补充法
围绕教学重点作必要的补充,以求课堂教学内容具体、深入、明确,使重点更加突出、丰满.对于非重点的教学内容,则予以适当精简,概而述之.
⒊媒体突出法
好的板书能突出重点.一般说来,写在黑板上的都是重要的.但如果写得芜杂、混乱,缺少必要的关联,学生就不得要领.板书要根据教学重点来设计.通过现代教学媒体,增加视觉效果,也是突出重点的好方法.
⒋强化训练法
教师通过精心设计与教学内容相匹配的形式多样的练习, 也可以达到突出教学重点的目的.
二、关于教学难点
(一)什么是教学难点
教学难点是教学中难于理解或领会的内容,或较抽象,或较复杂,或较深奥.
(二)教学难点的确立依据
难点是由两个方面决定的.
⒈教材编排
教材本身从内容、形式到语言都有难易之分.抽象的、宏观的内容难度就大；具体的、与学生生活距离小的,难度就小些.形式有单一的,也有复杂的,后者难度大些.语言有艰深晦涩的,也有明白易懂的,前者难度大些.
⒉学生实际
学生知识基础和接受能力是难点形成的决定因素.基础扎实、知识面广的,解决问题就容易一些；相反的就难一些.难点的存在跟一个人的禀赋也有关系.反应敏捷的,解决问题就快些；反应稍慢的就难一些.所以确定难点有个前提,这就需要教师了解学生,研究学生.要了解学生原有的知识和技能的状况,了解他们的兴趣、需要和思想状况,了解他们的学习方法和学习习惯.就学生基础来说,以下三个方面值得关注：
第一种是对于学习的内容,学生缺乏相应的感性认识,因而难以开展抽象思维活动,不能较快或较好地理解.例如,分数的认识.不仅要有看的（观察）,还要有动手做的（实践操作）.
第二种是在学习新的概念、原理时,缺少相应的已知概念、原理作基础,或学生对已知概念、原理掌握不准确、不清晰,使学生陷入了认知的困境.例如,分数的基本性质的教学,应先复习商不变的性质和分数与除法的关系.
第三种是已知对新知的负迁移作用压倒了正迁移作用.即已学过的知识在对学习新知识时,起了干扰作用,因而在已知向新知的转化中,注意力常常集中到对过去概念、原理的回忆上,而未能把这些概念、原理运用于新的学习之中,反而成为难点.例如,现实生活中下垂的印象对学习“垂直”概念的影响.又如,圆的周长与圆的面积公式,由于元素完全相同,只是排列有别,学生容易混淆. （三）突破教学难点的策略
突破教学难点,方法很多,或化抽象为具体,或化复杂为简单,或变生疏为熟悉,其目的都是为了化难为易.
⑴直观感知法.运用直观手段,加强学生的感知,化抽象为具体.如图解分析法、实践操作法、多媒体辅助法.
⑵情境创设法.联系学生生活实际,创设适宜情境,引导学生的思维由具体到抽象,由特殊到一般.
⑶迁移转换法.在数学教学过程中,要重视揭示和建立新旧知识的内在联系,从已有的知识和经验出发,运用迁移的方法来突破难点.这种方法得以实施的关键在于学生对旧知识的掌握应该是熟练的,他所掌握的前期知识是牢固的.因此,我们强调每一年段的老师都要把自己视为“把关教师”,让学生“走稳每一步”.
⑷对照比较法.对于易混淆的内容,运用对比方法区分各自的特点,如表格比较法.
⑸分解整合法.对于难度较大的问题,不妨把问题按难易程度分解成若干个与之相关的小问题,小坡度式地层层递进,划难为易,由易到难,然后再加以概括归纳.
⑹构建体系法.因为教学难点是动态的, 这就意味着学生如果对上一节课的难点没有理解, 那么下一节课这个难点还会进一步阻碍他的学习.这就需要教师帮助学生把课与课的知识构建起来, 形成知识体系, 从而使学生从知会点出发,逐步深入地理解知识, 达到层层突破教学难点.
⑺合作互动法.组织学生进行合作研讨.
⑻强化训练法.通过精心设计、组织与教学内容相匹配的形式多样的练习,如连线选择、填表对比、疑点判断、主观性题等,也可以达到突破教学难点的目的.
三、教学重点和教学难点的关系
教学的重点与难点,既有区别又有联系,有时二者是统一的.
重点的突出有利于难点的突破,而难点的突破也有利于重点的深化理解.所以以上所说的策略又可以交叉使用或综合使用.如能灵活地、有针对性地加以运用,就更能收到事半功倍的效果.
教学有法,但无定法.实际教学中突出重点突破难点的方法还有许多,有待于我们在教学中不断地探索、总结.
四、教师培训内容实例
内容版块：正比例、反比例
教学内容：比例的意义和基本性质
(一)教学重点、难点
重点：比例的意义和性质.
难点：①比和比例的联系与区别；②选择用比例的意义和性质判断两个比是否成比例.
(二)原因分析
重点：比例概念的理解十分重要,学习比例的相关知识以及比例的应用都有赖于对这些概念的理解和掌握.比例的意义的学习是在学生学习了比的知识的基础上进行的,教材提供了含有国旗的四个情境图,由每面国旗长与宽的比值是相等的,引出比例的意义：表示两个比相等的式子叫做比例.理解比例的意义非常重要,它是后面学习比例相关知识的坚实的第一步.比例的基本性质不但可以用来判断两个比是否能够组成比例,更重要的是它是解比例的依据；学会了解比例,学生就可以用比例的方法解决许多生活中的实际问题,这也将为后面要学习的正比例、反比例和比例尺打下基础.
难点：（1）学生对“比和比例有什么联系与区别”这个问题,往往只能看到它们的表面现象,很难看到概念的本质特征.比和比例的联系：有了两个比值相等的比就能组成比例,先有比再有比例；比和比例的区别：①比是由两个数组成的,而比例是由四个数组成的；②比是两个数之间的一种运算关系,而比例是一个等式.
（2）在判断两个比能否组成比例时有些学生不能灵活使用比例的意义和比例的基本性质这两种不同的方法.学生用比例的基本性质把乘法算式倒推改写成多个比例时出现遗漏,不能做到有序思考.
(三)教学策略
⒈由实际问题引入,体现比例在生产和生活中的广泛应用
比例的概念的理解十分重要,这个学习内容是比较抽象的,所以从比例在生活中的应用引入能够激发学生的学习兴趣,尊重学生的认知发展规律,学生能够更好地理解数学与生活的紧密联系.老师在教学设计时可寻找生活中许多典型的例子,比如实物与模型、建筑与设计图等等学生熟悉的素材.就可以选用教材提供的含有国旗的四个情境图,国旗是孩子们很熟悉的生活素材,但孩子们可能不会用数学的眼光去思考这样的问题：天安门广场的国旗、学校升旗台的国旗、教室墙壁上的国旗和国家领导人会晤时桌前的国旗有什么不同和相同的地方?老师提出这个问题去引发学生的思考,学生在观察、比较、判断、归纳等学习过程中会发现：每面国旗长与宽的比值是相等的,由此引出比例意义的教学.
⒉以自主探究与合作交流为主要学习方式来突破教学重难点
当学生学习了比例的意义之后,为了深入理解概念,可向学生提出如下研究性问题：“比和比例有什么联系与区别?”首先让学生在小组内探讨与交流,然后再全班交流、完善.关于这个问题,一些学生个人的认识非常地狭隘,不过他们一定能够在全班学生自由地交流与讨论下建构完整的认知体系：比和比例的联系：有了两个比值相等的比就能组成比例,先有比再有比例；比和比例的区别：（1）比是由两个数组成的,而比例是由四个数组成的；（2）比是两个数之间的一种运算关系,而比例是一个等式.教学中一定要发挥学生的主体能动性,知识与思维一定会在交流与碰撞中生长.在教学比例的基本性质时,可以让学生自主探究.教师只要给学生提供1个比例：2.4：1.6等于60：40,要求学生分别把比例的两内项相乘和两外项相乘,有了初步的发现：2.4×40等于96、1.6×60等于96,再举几个比例算一算,验证自己的想法,最后通过观察、分析、归纳出比例的基本性质：在比例里,两个外项的积等于两个内项的积.在教学解比例时,引导学生根据问题设x,依据比例的意义列出比例式,然后放手让学生自主根据比例的基本性质把比例转化为方程,方程是学生的已有知识经验,学生可自行解答.
⒊在练习中灵活运用知识、发展思维能力
比例的意义和基本性质看似简单易学,其实它们的内涵丰富,知识灵活多变.为了让学生能够灵活地运用知识,有必要给学生做一些基本练习和拓展练习,在练习中学生才能对概念的内涵与外延有更加深刻地理解,做到活学活用.针对本内容的重点与难点,可设计以下练习：
⒈下面每组中的两个比能组成比例吗?把组成的比例写出来,并说说判断的理由.
（1） 14：21和6：9 （2） 1.4：2和5：10
⒉判断下面哪一个比能与：4组成比例.
⑴ 5：4 ⑵ 20：1 ⑶ 1：20 ⑷ 5：
⒊在（ ）里填上合适的数.
1.5：3等于（ ）：4 等于 1.2：（ ）等于（ ）：5
⒋把等式2.5×0.4等于0.5×2改写成比例.
（作者单位：湖南省中小学教师继续教育指导中心）