本站原创有教育就需要有测量,数学教育水平的测量与选拔,离不开数学问题的创造性命题,按照“考查基础知识的同时,注重考查能力”的原则,确立以能力立意为指导思想,结合教学实际,笔者归纳了平时单元检测中命制数学试题十种易于操作的途径,供大家参考.
1编写试题常见的方法
1.1以教材中典型的例、习题为背景进行命题
“源于教材又高于教材”已成为全国及各地中考命题的一项准则.在平时单元检测、期中或期末考试等命题中坚持以课本题为源命制测试题,有利于引导学生学习课本,学会看数学书.源于课本的改编题,选题背景更贴近学生的实际.
例1如图1,要在燃气管道l上修建一个泵站,分别向A,B两镇供气.泵站修在管道的什么地方,可使所用的输气管线最短?（义务教育课程标准实验教科书《数学》八年级上册P42.）
图1改编题1.若此知识点在《四边形》的单元中考查,可编写为：如图2,菱形ABCD中,∠BAD等于60°,M是AB的中点,P是对角线AC上的一个动点,若PM+PB的最小值是3,则AB长为.
2.若此知识点在平移的综合中考查,可编写为：如图3,当四边形PABN的周长最小时,a等于.
图2图3编拟意图：以上两小题是在不同情境下运用基本图形来解决问题,不但考查了学生类比与迁移的能力,而且引导学生在打好基础上下功夫,在教学中,对培养学生的探索精神具有一定引导作用.
1.2以学生作业中的错题为背景进行命题
例21.关于x的方程（a-5）x2-4x-1等于0有实数根,则a满足（）
A.a≥1B.a>1且a≠5
C.a≥1且a≠5D.a≠5
2.有以下三个命题,判断这三个命题的正确性
①平行四边形是中心对称图形（）
②四边形中只有平行四边形才是中心对称图形（）
③平行四边形不是轴对称图形（）
编拟意图：第1小题是在讲解一元二次方程实数根时,学生容易将一元二次方程的实数根与方程的实数根混淆.第2小题是在教一般平行四边形和特殊平行四边形关系时,学生表面上好像懂了,其实做了这一题后会发现,不懂的学生很多,尤其是第②个,学生认为是错的,理由是还有矩形、菱形.
在实际教学中,把学生的错误当作宝贵的教学资源,从错题中提炼出错误原因,提取共性,编拟成试题,能培养学生思考错题、分析错题、研究错题,引导学生学会反思错误,充分调动学生求知、求思的积极性和主动性.
1.3以中考题为背景进行命题
最激烈的竞争是中考,最优秀的命题是中考题.以中考题为参照命制试题,作为中考复习的模拟题是明智之举.
例3（山东东营）如图4,在平面直角坐标系xOy中,点A1,A2,A3,等和B1,B2,B3,等分别在直线y等于kx+b和x轴上.△OA1B1,△B1A2B2,△B2A3B3,等都是等腰直角三角形,如果A1（1,1）,A2712,312,等,那么点An的纵坐标是.
图4改编题在平面直角坐标系xoy中,正方形A1B1C1O、A2B2C2B1、A3B3C3B2,等,按图5所示的方式放置,点A1,A2,A3,等和点B1,B2,B3,等分别在直线y等于kx+b和x轴上.已知C1（1,-1）,C2712,-312,则点A3的坐标是,点An的坐标是.
图5编拟意图：改编题在原题的基础上,增加考查正方形的轴对称性,由C1、C2的坐标可求A1、A2的坐标,将新问题转化为原题,确定出A3的坐标,依此类推寻找规律,即可求出An的坐标.灵活运用正方形的性质是解本题的关键.
新课改要求教学中应重视学生发现和解决问题能力的培养,重视知识“过程”的学习,锻炼学生归纳总结的能力,会将学过的问题（做过的作业）进行改编,引导学生提出有一定深度和广度的问题,激发学生积极思考.
1.4以数学竞赛中一些内容和方法为背景进行命题
竞赛题有一定的难度,不能照搬照套；但它的视角,它的立意,它的方法,它的情景却是值得我们平时命题时借鉴和模仿的,改编时要特别注意学生的实际能力.
例如在学习完第七章《二元一次方程组》知识后,给学生出了这样一道阅读题：
例4阅读下列解题过程,借鉴其中一种方法,解答后面给出的试题：
问题：某人写13个鸡蛋,5个鸭蛋、9个鹅蛋共用去了925元；写2个鸡蛋,4个鸭蛋、3个鹅蛋共用去了320元.试问只写鸡蛋、鸭蛋、鹅蛋各一个共需多少元.
分析：设写鸡蛋,鸭蛋、鹅蛋各一个分别需x、y、z元,则需要求x+y+z的值.由题意,知
13x+5y+9z等于9.25（1）
2x+4y+3z等于3.20（2）；
若视x为常数,将上述方程组看成是关于y、z的二元一次方程组,化“三元”为“二元”、化“二元”为“一元”从而获解.
解法1：视x为常数,依题意得
5y+9z等于9.25-13x（3）
4y+3z等于3.20-2x（4）
解这个关于y、z的二元一次方程组得
y等于0.05+x
z等于1-2x
于是x+y+z等于x+0.05+x+1-2x等于1.05.
评注：也可以视z为常数,将上述方程组看成是关于x、y的二元一次方程组,解答方法同上.
若视x+y+z为整体,由（1）、（2）恒等变形得
5（x+y+z）+4（2x+z）等于9.25,
4（x+y+z）-（2x+z）等于3.20.
解法2：设x+y+z等于a,2x+z等于b,代入（1）、（2）可以得到如下关于a、b的二元一次方程组5a+4b等于9.25（5）
4a-b等于3.20（6）
由⑤+4×⑥,得21a等于22.05,a等于1.05.
评注：运用整体的思想方法指导解题.视x+y+z,2x+z为整体,令a等于x+y+z,b等于2x+z,代人①、②将原方程组转化为关于a、b的二元一次方程组从而获解.
请你运用以上介绍的任意一种方法,解答下列试题：
购写五种教学用具A1、A2、A3、A4、A5的件数和用钱总数列成下表：
品名
次数1A11A21A31A41A51总钱数第一次购写件数111314151611992第二次购写件数1115171911112984
那么,购写每种教学用具各一件共需多少元?
编拟意图：本题若设购写每种教学用具各一件各需a,b,c,d,e元,则有a+3b+4c+5d+6e等于（a+b+c+d+e）+（2b+3c+4d+5e）等于1992；以及a+5b+7c+9d+11e等于（a+b+c+d+e）+（4b+6c+8d+10e）等于2984,可检测设（a+b+c+d+e）等于x,2b+3c+4d+5e等于y,构建新的方程组解决问题.
此类题是引导学生用观察、分析、归纳、猜想、验证等探索方法,得出规律.考查学生的创新能力,锻炼学生探索技巧,在考查高层次思维能力和创新意识方面具有独特的作用.
1.5以古典数学名题作为问题的背景
《新课程标准》指出,数学学习不仅包括数学的一些现成结果,还要包括这些结果的形成过程.以古典数学名题作为问题的背景的主要有杨辉三角、蝴蝶定理、七桥问题、色环问题等,以这些问题为背景主要考察学生的知识迁移能力.
例5如图6,是与杨辉三角有类似性质的三角形数垒,a、b、c、d是相邻两行的前四个数（如图6所示）.那么当a等于8时,c等于,d等于.
图6编拟意图：本题学生通过观察,找出每一行中数据间的相互联系,和行与行间数据的相互联系,然后对数据间的这种联系用数学式子将它表达出来.本题是以我国古代的杨辉三角为背景的规律探索型题,主要考查学生对数据的整理、分析、概括和处理能力,同时考查了学生对类比方法的运用,体现“数学文化”,展现数学文化价值,寓教育于考试之中.
1.6以课题学习为背景进行命题
作为考查学生数学素养的载体,不适宜用未学的“高一级”知识,而是用“同级”的但不是太熟悉的知识；以课题为背景的研究性学习无论是对课程教材的开发,还是对于学生的探索能力和创新意识的培养都具有积极意义.
例6某课题小组对课本的习题进行了如下探索,请逐步思考并解答：
（1）如图7,两个大小一样传送轮连接着一条传送带,两个传动轮中心距离是10m,求这条传送带的长.
（2）改变图形的数量
如图8,将传动轮增加到3个,每个传动轮的直径是3m,每两个传动轮中心的距离是10m,求这条传送带的长.
图7图8（3）改变动态关系,将静态问题转化为动态问题
如图9,一个半径为1cm的⊙P沿边长为2πcm的等边三角形△ABC的外沿作无滑动滚动一周,求圆心P经过的路径长?⊙P自转了多少周?
（4）拓展与应用
如图10,一个半径为1cm的⊙P沿半径为3cm的⊙O外沿作无滑动滚动一周,则⊙P自转了多少周?
图9图10编拟意图：本题从课本中学生熟悉的问题入手,通过改变图形的数量,改变图形的动态关系,将理论性思维与动作性思维结合起来,充分体现了研究性学习的基本特征,以学生为主体、以类似科学研究的方式主动地获取知识、应用知识、解决问题.
1.7以与高中内容紧密联系的数学知识为背景
以高中数学知识为命题背景,考查考生的阅读理解能力和信息处理能力,自学能力,同时既能开阔数学视野,有利于完成高中数学与初中数学的和谐接轨,又能有效地考查学生的思维能力和后续学习的潜能.
例7阅读下列材料,并回答下列问题
一般地,如果函数y等于f（x）对于自变量取值范围内的任意x,都有f（-x）等于-f（x）,那么y等于f（x）就叫做奇函数；如果函数y等于f（x）对于自变量取值范围内的任意x,都有f（-x）等于f（x）,那么f（x）就叫偶函数.
例如f（x）等于x3+x,当x取任意实数时,f（-x）等于（-x）3+（-x）等于-x3-x等于-（x3+x）,即,f（-x）等于-f（x）,所以f（x）等于x3+x奇函数.
又如f（x）等于|x|,当x取任意实数时,f（-x）等于|-x|等于x,即,f（-x）等于f（x）所以f（x）等于|x|是偶函数.
问题：（1）下列函数中：①y等于x6；②y等于x2+2；③y等于31x；④y等于x+1；⑤y等于x+11x；奇函数是,偶函数是.
（2）请你再分别写出一个奇函数、一个偶函数.
编拟意图：以高中函数知识为背景,是初中函数知识的延伸.由于初中学生已有一定的函数知识,故只需对照题中两例,完成对概念的探究,获取新知识,进而应用新知识,就可以解答问题.（1）中①②是偶函数,③⑤是奇函数；（2）如y等于x是奇函数,y等于2x2-1是偶函数.
1.8以实际生活、生产实践经验作为问题的背景
在实际问题中,条件往往不能完全确定,即条件的不确定性是自然形成的或是实际需要,其不确定性是合理的.从实际材料出发,通过抽象、概括的数学化过程建构数学知识,建立数学模型,以培养学生创新精神和实践能力.
例8为鼓励学生参加体育锻炼,学校计划拿出不超过3200元的资金购写一批篮球和排球,已知篮球和排球的单价比为3∶2,单价和为160元.
（1）篮球和排球的单价分别是多少元?（2）若要求购写的篮球和排球的总数量是36个,且购写的排球数少于11个,有哪几种购写方案?
编拟意图：本题主要考查学生分析和解决实际问题,构造数学模型的能力；把实际问题抽象为数学问题,利用转换的方法（即转化为某种类似的数量关系模型）,确定实际问题中的已知量和未知量之间的关系,从而解决问题.
19以学生较为熟悉的的图形作为问题的背景
让学生通过对较为熟悉的图形的观察,找出图形间的相互关系,图形本身的特征,然后加以归纳和猜想.主要考查学生的观察、比较、分析、抽象、概括等思维能力.
例9如图11,平面内4条直线l1、l2、l3、l4是一组平行线,相邻2条平行线的距离都是1个单位长度,正方形ABCD的4个顶点A、B、C、D都在这图11些平行线上,其中点A、C分别在直线l1、l4上,该正方形的面积是平方单位.
改编题如图12,若正方形ABCD的四个顶点恰好分别在四条平行线l1、l2、l3、l4上,设这四条直线中相邻两条之间的距离依次为h1、h2、h3（h1>0,h2>0,h3>0）.
（1）求证：h1等于h3；
（2）如图13,现在平面直角坐标系内有四条直线l1、l2、l3、x轴,且l1∥l2∥l3∥x轴,若相邻两直线间的距离为1,2,1,点A（4,4）在l1,能否在l2、l3、x轴上各找一点B、C、D,使以这四个点为顶点的四边形为正方形,若能,请直接写出B、C、D的坐标；若不能,请说明理由.
图12图13编拟意图：该题主要是考查学生对图形的直觉猜想、归纳能力.利用平行线的性质、正方形的性质和面积计算解决问题,关键是根据平行线之间的距离构造全等的直角三角形.这样既保留了原习题的特点,又有创新,结合考查的目的、要求进行取舍、组合,编制出有坡度、信度高、区分度适中的不同层次的试题.
1.10以陈题为背景进行命题
有一些很平常、很常见的题,学生通常习以为常,解题往往已形成了习惯性思维,但可以改编成一道全新的题,培养学生思维深刻性.
图14例10如图14,D在直线BE上,BE交AC于F,△ABC∽△ADE,求证：△ABD∽△ACE.
改编题：如图14,D在直线BE上,BE交AC于F,△ABC∽△ADE,请找出其他的相似三角形,并证明.
本题还能找到2对：△AEF∽△BCF,△ABF∽△CEF.
编拟意图：对于这一类问题通常是在某个旧知识的背景下,给出一个新的问题,要求能在新问题下,联系所学的知识,进一步探索创新,既加深了对原有知识的理解,同时有发展了学生的思维,培养了学生的阅读理解能力和对知识的应用能力.
2命制试题的注意点
（1）命制的新题目要保证背景的公平性,同时要特别注意语言表述的准确性,防止条件变化所引起的歧义,并注意条件的相容性.
（2）命制新题要立意明确,不是作些廉价的转化,机械的组合.现在不少学生思考问题的思维方式往往是：见过没有?做过没有?讲过没有?而不是针对题面信息本身的,告诉我们什么?要求什么?有何联系?选择什么知识与方法?所以,从平时单元检测起,适当引进新题、改编题,可以更好体现对学生能力的考查,更好地培养学生的思维方式与思维品质.
（3）命制的新题不仅包含有“亮点”的精彩题目,还应该包含似曾相识的常规题,新题目常常有两类：一类是新而不难,一类是新而难.第一类题目往往由于新面孔而吓倒一批学生,难在题意的理解上,就数学的知识或方法而言却并不难,学生只要多看几遍题,弄清题意,努力一把,往往就可以迎刃而解,这时是选择努力还是放弃,实际上就是体现《数学课程标准》中的“对学生个性意志品质的考查”；第二类题目往往是真正的难题,是拔尖用的.所以一份好的试卷里也不能出现太多的新题难题,更多的还应该是改编后的常规题（不是陈题）.
（4）命制的新题的“新”,重要体现在情景与思路的选择上,不要用技巧与运算冲淡主题,尤其不要编写未学过的后面知识或更高级的知识方法求解很方便,而目前硬要学生去用设定某种方法去解的题目；另外命制的试题涉及的思想方法要偏重于具有“可持续发展”功能.
作者简介于清来,男,江苏省海安县人,中学高级教师,南通市中考数学命题库成员,长期进行数学命题研究,主持多项市级课题研究和省级课题核心组成员,有多篇文章在国家级刊物上发表.