本站原创[摘 要 ] 数学作为工具学科,其思想、方法和知识已经渗透、贯穿于整个物理学的学习和研究过程中.数学素养对物理学研究生的学习生活及今后的研究工作至关重要.对物理学研究生数学素养的构建主要从数学素养的几个要素的构建入手：在数学知识素养构建方面注意知识的针对性,引入物理问题进行数学情景教学；在数学应用素养构建方面注意实用性,通过解决实际物理问题进行强化；在数学思想方法素养构建中注意提炼总结,经由体验—应用—再体验—再应用的反复循环来升华；在数学思维素养构建方面创设真实物理情景,利用数学建模等活动逐步实现；在数学精神素养构建方面,通过学习了解数学史、数学哲学等方式达到.
[关 键 词 ] 物理学；研究生；数学素养；构建
中图分类号：G623.5
数学作为工具学科,其思想、方法和知识已经渗透、贯穿于整个物理学的学习和研究过程中,为物理概念、定律的表述提供简洁、精确的数学语言,为物理学中的抽象思维和逻辑推理提供有效的方法,为物理学中的数量分析和计算提供有力工具.物理学研究生如果不具备相应的数学素养,基本上就失去了深刻理解掌握物理知识的能力,失去了在物理学科中发展与创新的支撑.再者,近现代物理学的书写语言几乎都是数学,这也是物理学研究生必须具备较高数学素养的原因之一.古今科学家们都坚信,数学是表达大自然规律最好的语言,任何科学理论最终和最完美的表达方式都应该是数学方程式.爱因斯坦（Albert Einstein）就曾说过,政治是暂时的,而数学方程式是不朽的.
一、数学素养的内涵
关于数学素养,目前国内外均无一个严格的、统一的定义.最早出现数学素养一词的Cockcroft报告提出数学素养包括两个内涵：一是个人在日常生活中具有运用数学技能的能力,能够满足个人每天生活中的实际数学需求；二是能正确理解含有数学术语的信息[1].国际学生评价项目（The Program for International Student Assesent,PISA）的定义则是：数学素养是一种个人能力,学生能确定并理解数学在社会中所起的作用,得出有充分根据的数学判断和能够有效地运用数学,是作为一个有创新精神、关心他人和有思想的公民,适应当前及未来生活所必须的数学能力[2].而美国国家教育与科学委员会（the National Council on Education and the Disciplines,NCED）数学负责人Steen给出数学素养的几个主要组成部分是：对数学的自信,数学文化欣赏,解释数据,逻辑思考,做出决定,情境中的数学,数感,实践技能,必备的知识,以及符号感.
国内的蔡上鹤先生认为,数学素养的结构是多方面的,基本的有四个：知识技能素养,逻辑思维素养,运用数学素养,以及唯物辩证素养[3].王子兴先生认为数学素养涵盖创新意识、数学思维、数学意识、用数学的意识、理解和欣赏数学的美学价值等五个要素[4].朱德全先生指出,数学素养的构成要素为数学思维块、数学方法、数学思想以及数学人文精[5].
综合不同观点中对数学素养本质特性的阐释,基本上可以得到如下的表述：数学素养是人们通过数学教育以及个体自身的实践活动所获得的数学知识和数学能力,形成的数学意识和数学思维,以及内化的数学审美和数学哲学等数学文化的综合,它包含数学知识素养、数学应用素养、数学思想方法素养、数学思维素养和数学精神素养等构成要素[6].
二、物理学研究生数学素养现状分析
物理学研究生是物理学知识和技能的传承者,是弘扬光大物理学科,推动物理学向前发展的主要力量.较高的数学素养对物理学研究生来说不仅是有意义的,而且是必要的.但目前我们物理学研究生的数学素养现状还不是那么尽如人意,这主要表现在以下几个方面：
对数学的重要性认识不足.无论物理学与数学学科之间的关系是多么密切,也无论数学工具对物理学来说是多么至关重要,但对大多数物理学研究生来说,这似乎都与他们无关.事实上,有相当一部分学生在自己的几年研究生生活中,几乎都呆在实验室里埋头苦干,基本上不接触理论,更不用说数学知识,成果也会出,学位也能拿.这些情况都在淡化,甚至消退学生对数学重要性的认识.
数学基础知识不扎实.绝大部分学校在研究生阶段已不再设置专门的数学课程,学生的数学底子来源于本专科所学的高等数学、线性代数、以及部分数理方程和概率论与数理统计方面的知识.在本专科阶段这些课程几乎都是大班教学,教学要求普遍偏低,教学内容的针对性也不强,学生由此获得的数学基础知识实际上是不够扎实牢固的.
对数学的应用不充分.现在的物理研究,特别是一些材料及技术的前沿方向,都是在利用一些大型的、复杂的、精密的仪器设备,完成一些同样或者更加大型的、复杂的、精密的实验,这要求研究者全神贯注于实验方案的设计、实验过程的操控和实验结果的表征,而很少有暇顾及对相关物理问题的数学思考.现实情况也正是这样,学生更多关注实验的结果,而少有数学模型的建立,以及对物理问题本身更高层次的分析与归纳.
没有建立起有效的数学思维.因为前面所列的几点不足之处,最终导致学生在物理的实践活动中不能建立起有效的数学思维.这反过来又会局限学生对物理问题的理解,封闭学生对物理问题的进一步研究和创新,阻碍学生自身的发展.或者从另一个角度来讲,也会阻碍物理学的发展.
三、物理学研究生数学素养的构建
下面主要从数学素养的几个构成要素出发,参考一些学者的研究成果,结合自身在物理学研究生数学教学中的一些感悟与体会,以及与诸多师生的交流,浅表地总结一下笔者在物理学研究生数学素养的构建方面所做的一些探索.
(一)数学知识素养的构建
数学知识素养是数学素养的本体性素养,数学素养只有在学习数学知识以及应用数学知识的过程中生成.构建物理学研究生数学知识素养的首要任务是建立知识框架,有主有次地确定知识内容.理科研究生都已被检测定掌握了一定的数学基础知识,且研究生对数学工具使用的选择性较强,所以该阶段对数学知识的学习不应再是“百日筑基”,而应是“炼精化气”,在原有基础上,把需要掌握的部分牢固化,需要加强的部分熟练化,以达到运用自如的目的.有幸的是笔者所在的学校对物理学研究生专门设置了数学课程,而在大多数其它高校,这个工作就只能由研究生与导师一起来完成了.接下来是提供真实情景,促进学生主动参与,有效学习.真实情景是数学素养生成的环境,杜威（John Dewey）在《我们如何思维》中指出,思维只有和实际的情景发生联系,合符逻辑地从这些情景中求得有结果的思想,我们才会知道如何解决困难和做出判断.在物理学中,特别是研究生阶段,可供数学教学使用的真实情景,也就是实际物理问题比比皆是.如果学生确切地知道解决某个物理问题需要哪部分数学知识,便会自然地去寻求对那部分知识的理解掌握,然后用于解决该问题.如此,即可让学生“学”会,而不是把学生“教”会.比如在学习Hermite多项式时,利用线性谐振子这个物理问题作为实际情景,要解出它的Schrodinger方程,需要学生一步步在数学上做下去,在此过程中即学会了该部分知识. （二）数学应用素养的构建
数学应用素养是指主体在真实情境中应用数学知识和技能处理问题的能力,是最直观地反映学生数学素养的重要方面,个体数学素养的其它方面都是通过在现实情境中对数学的应用而体现出来的.构建物理学研究生数学应用素养,第一当然是得让学生知道,他们所学的数学知识是有用的.夸美纽斯（Johann Amos Comenius）认为,关注知识的应用是任何教学存在的价值追求之一[7].他说：“凡是所教的都应该当作能在日常生活中应用并有一定用途的去教.也就是说,学生应当懂得,他所学的东西不是从某种乌托邦取来的,也不是从柏拉图式的观念借来的,而是我们身边的事实之一,他们应当懂得适当地熟识它对生活是大有用处的.这样一来以来,他的精力和精确性就可以得到长进”.做到这一点并不那么容易,因为大多数时候我们都是流于形式,泛泛而谈地告诉学生,数学这个东西是有用的.比如讲张量在力学、电磁学、光学、电动力学和相对论中都有很多应用,不如用一个实际晶体的电光效应或声光效应来让学生切实体会到张量的应用.第二是让学生真正去用.笔者给学生上数学课时,给他们留作业中有一部分是特别选取的物理作业,目的就是让学生在学习数学的过程中,也一直处于运用数学的状态,不断地强化数学在物理学中有用的意识,也不断地加强学生运用数学知识解决物理问题的能力.
(三)数学思想方法素养的构建
数学思想方法素养表现为主体对数学中蕴含的科学方法和数学特有的方法的掌握和在真实情境中的应用.数学中的函数与方程、转化与化归、分类讨论、数形结合等思想,以及分析法、综合法、归纳法、建模法、换元法等科学方法在物理学的研究中都可以不同程度地进行借鉴和发挥,诚如冯?诺伊曼（John Von Neumann）所说,“数学处于人类智能的中心领域,数学方法渗透进支配着一切自然科学的理论分支”.培养构建物理学专业研究生数学思想方法方面的素养主要应着眼于学生对数学思想方法的体验和应用上.教师在教学活动中时时处处注意对数学思想方法的提炼总结有助于加深学生对此的体验,但学生对数学思想方法更高层次的体验还是存在于体验—应用—再体验—再应用的循环之中.这只能是一个潜移默化的过程.如果我们一方面在数学教学活动中注意到了对思想方法的总结与强调,另一方面在物理学习和实践活动中突出对数学思想方法的应用,即在讨论问题时注意强调定义,强调问题存在的条件；观察问题时注意抓住其中的函数关系,在局部认识基础上进一步做出多因素的全局性考虑；认识问题时注意将一些数学概念如对偶、相关、随机、泛涵、非线性、周期性等概念广义化,那么,我们无形中就是在帮学生逐步构建起数学思想方法方面的素养了.
(四)数学思维素养的构建
数学的思维素养就是指学生在真实情境中,从数学的角度理解和把握面临的真实情境并加以整理,寻找其规律的过程,也叫数学化,是数学地组织现实世界的过程.物理学家劳厄（Von Laue）用这样一句话来总结教育的本质：教育无非是一切已学过的东西都忘掉后所剩下的东西.对于物理学研究生的数学教育来讲,如果学生在把学过的某些具体的数学知识、公式定理等都忘了之后,任然能利用他们在数学方面“所剩下的东西”,顺利地处理物理学中的相关数学问题,那么我们的数学教育就可以认为是成功的.学生在数学教育中所获得的那些能够“剩下”的东西,无疑就是数学的思维.构建物理学研究生数学思维素养的有效途径之一是培养并不断强化学生的数学建模能力.把物理问题数学化的过程能同时培养学生的数学知识素养、应用素养、思想方法素养及思维素养,对学生的数学思维素养构建尤其有效.在物理学研究生的数学课中,把数学知识模块化、专题化,然后对每一模块的知识选择合适的物理问题,创设真实情景,让学生讨论建立具体数学模型,这样的教学方式收到了较好的效果.
(五)数学精神素养的构建
数学精神素养是指学生在真实情境中表现出来从数学的角度求真、质疑、求美和创新的特征.雅斯贝尔斯（Karl Theodor Jaspers）在《什么是教育》中指出：教育过程首先是一个精神成长的过程,然后才成为科学获知过程的一部分.数学精神素养是数学素养中的最高层次,但同时也是数学教育中最容易被忽视的部分.与物理学一样,数学精神的主体包含了求真、实证、怀疑、批判、创新等一般性科学精神,以及自由、自觉、超越等一般性人文精神.同时,数学精神也蕴涵其丰富的特质,如日本数学家米三国藏所认为的应用化精神、扩张化和一般化精神、组织化和系统化精神、研究精神、发明精神、建设精神、严密化精神等.这些精神都沉淀在数学史、数学哲学及数学本身之中,对物理学研究生来说,指导他们去阅读,鼓励他们去了解,建议他们去体验,可以一定程度地使学生从这些宝贵的精神财富中受益,构建起一些基本的数学精神方面的素养.
总的来讲,对物理学研究生数学素养的构建,要把握好数学素养生成的基础,即主体已有的数学经验,也就是物理学研究生本身已有的数学底子,并结合物理专业特点.在数学知识素养构建方面注意知识的针对性,引入物理问题进行数学情景教学；在数学应用素养构建方面注意实用性,通过解决实际物理问题进行强化；在数学思想方法素养构建中注意提炼总结,经由体验—应用—再体验—再应用的反复循环来升华；在数学思维素养构建方面创设真实物理情景,利用数学建模活动逐步实现；在数学精神素养构建方面,通过学习了解数学史、数学哲学等方式达到.