应用与计算问题驱动的数学教育观

[摘 要]以应用和计算问题为驱动,进行教学内容和教学方法的研究,促进学生的学习主动性,促进创新人才的培养.在大学数学公共课教学中按知识模块引入应用数学问题,在数学专业课教学中注重数学应用、数学计算和数学实验相结合.

[关 键 词]数学教育数学应用数学计算数学课程

数学教育的重要目的之一是人才培养.在人才强国战略的新时期,创新型人才的培养已成为目前高等学校数学教育研究的重要问题.最近,我们教研室培养的大学三年级学生解决了国际数理逻辑界多年悬而未决的问题,在社会上引起了很大反响.可见,如何通过大学的教学过程促进学生未来成为创新型人才是一件值得深思的问题.数学教育界对人才培养过程的方式有多种多样的看法,如何营造促使创新人才茁壮成长的环境和气氛、如何培养学生旺盛的求知欲、如何培养学生强烈的好奇心和钻研精神、如何鼓励学生文理相通、使学生具有高尚的情怀等,是数学教育工作者所普遍认同的问题.

人们对不同问题的认识是存在差异的,能较好解决一类问题的人才,不一定能较好地解决其它类型的问题.人才的培养需要资源和时间,我们需要考虑如何确保当前模式下培养的专业人才成为未来需要的人才.虽然我们早已提倡因材施教的教育观点,但是如何走出由重教轻学所导致的灌输教学模式?注重怎样的教学内容和教学方式将有利于发展独立思考和判断的能力?针对人才培养的具体方式,基于我们多年的教学实践,本文提出一种应用和计算问题驱动的数学教育观,从下面几个方面进行探讨.

一、数学教育的出发点

数学教学究竟是从定义出发还是从问题和现象出发,是数学教学内容和教学方法研究的重要问题.目前的一种指导思想是偏重于形式上的逻辑推理的严谨,注重演绎证明的训练.我们认为,数学教育研究的发展应该由什么来驱动是一个值得研究的问题,可以从不同的方面、不同的因素来考虑这一问题.教学方法的研究应该是多方面的,贵在积极探索、勇于创新.

在数学科学的研究中,人们已经重视了问题驱动的应用数学研究.近年来,国家自然科学基金委员会专门组织了这方面主题的讨论,给予了专门问题研究的基金项目资助.数学教育研究与数学科学研究是有联系的,是相互影响的.我们觉得,在数学教育的研究中,考虑问题驱动的研究,也将具有特别的科学意义和重要价值.

从数学这门科学的特点来看,它是在相当广泛的意义下研究现实世界中的数量关系和空间形式的科学,数学发展的根本原动力来自客观实际的需要.从现代科学技术研究的特点来看,高技术本质上是一种数学技术,而数学技术被认为是数学方法和计算技术的结合,这已逐渐成为共识.因此,以应用和计算问题为驱动,进行教学内容和教学方法的研究,既具有学科特点,也具有时代特点.

面对科学技术的高速发展、新兴学科不断出现和计算机的广泛使用,数学高等教育需要改变以简单地传授已有知识为中心的状况,把培养获取知识的能力、培养应用知识的能力、培养创新能力作为重点.数学公共课教学是高等教育中的最基础最重要的部分,对众多学科人才培养质量具有重要影响,值得各高等学校充分重视.数学类专业的本科教育肩负着培养我国未来应用数学和数学研究专门人才的重要任务.深入进行数学学科下的两个本科专业“数学与应用数学”、“信息与计算科学”的教学内容、教学方法和实践教学的研究,使培养的学生适应于科学技术发展对数学与应用数学人才的需要,这是培养合格人才的至关重要问题,是进行数学教育教学改革研究的重要问题.

数学教育研究以应用和计算问题为驱动,将对数学教育教学改革的发展起到重要的促进作用,对广大非数学专业的学生,更有利于提高数学的应用能力和计算能力；对数学类专业的学生,除了有利于提高应用能力和计算能力外,也有利于提高解决问题的综合能力和创新能力.

二、相关教学研究现状

数学课程教学中,20世纪80年代曾经强调开设“数值计算”或“计算方法”课程,这表明计算得到了重视.20世纪90年始强调开设“数学建模”课程,这表明应用得到了重视.然而,专门和系统地进行基于应用与计算问题驱动的数学课程教学研究,却是鲜为人见的教学研究课题.

教学实践使我们体会到,数学课程的教学仍然存在一些需要重视的问题.比如,教学内容上存在经典较多,现代不足,分析推导较多,数值计算不足,与工程实际和现代生活的应用联系较少,教学体系严谨,过分强调各门课程的系统性与完整性,缺乏应有的相互联系,相互渗透,以教师为中心的注入式、保姆式教学方法仍然没有得到根本改变,课堂信息量小,不能激发学生学习的主动性,教学手段单调,教学模式呆板,不能吸引学生参与课堂活动,实践性教学环节薄弱,不利于培养学生的创新能力和综合素质等.

我国数学教育教学的研究和发展,特别是进入21世纪以来,在教育部主持下,进行了课程体系和教学内容的教学改革,已经取得了一些具有时代特色的成果.在保持传统数学教学的优点的同时,在课程体系优化、专业建设与课程建设、分层次教学、多媒体教学、考试方法、数学素质教育等多方面取得了明显的进步.然而,数学教学改革研究的状况已经今非昔比,新时期需要有符合时代特点的要求和发展.

根据科学发展观的要求,数学教学改革的研究还面临着哪些迫切需要解决的问题?数学教学改革的研究如何更好地促进教学质量的提高?怎样才能更好地促进数学教育的发展、创新数学教育教学的研究?这些是我们一大批从事数学教育工作者需要关注的问题.

现在,我国高校较普遍地开设了数学模型[1]课程,体现了数学教学中对数学应用的重视.数学实验[2-3]作为提高数学能力的手段,也逐步得到重视.近年来,数学文化[4-5]教育已成为数学素质教育的重要内容.这些都反映了数学教育的发展.我们既要重视开设体现应用和重视能力的课程,也要重视在传统数学课程教学中加强能力培养的环节.

为了创新数学教育、深化数学教学改革、进一步提高数学教学质量,我们认为,除了继续有力支持基于数学课程体系、数学内容和方法的传统形式的教学研究外,还要大力提倡从新的角度进行数学教学方法的研究,并以此为契机,更大程度上的调动广大数学教育工作者的积极性,更好地促进数学教学改革的科学与协调的发展.基于目前数学教育的发展状况,以应用和计算问题为驱动进行数学教学方法的研究,符合目前数学教学改革的发展趋势,将进一步更新和丰富数学教学的研究.三、教学改革思想

以应用和计算问题为驱动进行数学教学,是我们逐渐形成的一种教学观念.我们认为,要以数学应用和数学计算促进数学学习,促进学生的学习主动性.以应用和计算问题为驱动进行数学教学,也是教学内容的改革,要求我们在教学中加强应用内容和增强计算环节.同时,以应用和计算问题为驱动进行数学教学,也将改进教学方法,要求我们改进教学内容引入、改进教学过程的组织、改进巩固知识和训练的方式.

中国古代数学及印度古代数学被称为所谓的东方数学.东方数学与西方数学有一定的差异.学习西方数学体会到,其主要内容是证明定理.中国的古代数学很少形式上考虑定理,它的主要内容是着重解决各式各样的问题,着重计算.中国的古代数学是一种体现计算方法的数学,进入到计算机时代,这种体现计算方法的数学,恰好是符合时代要求和时代精神的.

应用问题既体现数学的外部驱动,又体现数学问题之间的驱动.计算问题则是数学从古至今的基本问题和核心问题.,应用和计算问题的驱动体现了外部需要的驱动和内部矛盾的驱动.基于应用和计算的数学教学研究体现了教学内容、教学方法和实践性教学研究.

四、教学实践的实施方法和手段

在以数学应用和数学计算促进数学学习的教学实践过程中,我们按课程内容进行实施,将教学方法实施于不同的教学环节,注重数学应用、数学计算和数学实验相结合.我们围绕着多门数学课程的教学进行了实践,可以从下面三个方面进行说明.

（1）大学数学教程中引入应用数学模型模块.作为数学计算与数学实验的基础和重要内容,首次在大学数学公共课（高等数学课程、线性代数课程、概率统计课程）中,有针对地、适合教学内容地、较全面地融入了应用数学模型.我们编写出版了这方面的教材,见[6].该教材是全国众多大学数学、高等数学教材中独具特色的.在大学数学内容中融入数学建模内容,不同于目前国内外教材中含有应用性的例题和习题,相比之下要复杂一些、综合性强一些,是教学内容的有益补充,但不喧宾夺主,使之主次分明,相得益彰.具体教学方法有溢出式（在讲述大学数学课程知识时溢出去讲一些科学典故或前辈科学家探索过程的故事）、引入式（从数学建模问题提出概念和计算问题）、案例式（适用于较简单的数学建模例子）、评注式（适用于较复杂的数学建模例子）、讨论式（适用于解法多样或可以进一步扩展的数学建模例子）.

（2）数学建模和科学计算课程的教学实践.我们首先在学校教改实验班中进行了种教学实践,现在已经将这种形式的教学推广到全校的文化素质课教学.使数学模型的应用性教学通过计算求解来完善,使数值计算的算法构造分析和实验性教学通过应用问题提供背景和意义.这种有机结合地教学,既丰富了教学内容、增强了教学活力,也大大提高了学生的学习兴趣.

（3）数值分析（数值计算方法）课程教学实践.在实际应用上,在数值分析开头精选了实际问题引入,即注重模型引入,尽量联系问题的应用背景和相关数学问题的背景.在实践环节上,对数值分析内容的每一章,精选了数值实验题和内容扩展题,突出了计算实验分析环节,体现了数值计算与数学实验内容的结合.体现这些特点的教材见[7],除了内容注重思想方法的阐述外,每章都有问题特例和扩展问题.这种将应用问题、计算方法和数值实验结合阐述,有利于学生更好地理解和应用课程所学内容,提高学生应用计算机进行科学工程计算和解决实际问题的能力.

（4）创建网络讨论式教学平台.以信息技术支持教育改革,针对应用性和计算性问题的特点设计教学评台,教学平台下已有数值分析课程、微积分课程、线性代数课程、概率与统计课程、最优化方法课程.每门课程下设计了问题提出与提示、原理与技巧说明、提问与点评、作业提交与优秀解答展示等栏目.引导学生自主性学习,使老师和学生都可以得到个性化的教学体验.

五、进一步地讨论

教学实践使我们认识到,基于应用和计算问题的驱动进行教学研究,有大量的工作可做,对基础课、专业基础课、专业课等不同层次课程的教学应各有侧重.具体地说,可以从下面几个方面来考虑.

（1）对大学数学公共课的应用性教学研究,可以按模块适当融入数学建模思想和方法,分析和整理出体现应用关系的教学内容和方法.

（2）对大学数学公共课的计算实验教学研究,可以适当融入使用计算软件的实践性教学,研究如何选择通过计算促进数学学习的内容和方法.

（3）对数学类专业主干课程的应用性教学研究,应该渗透现代应用数学的观点、概念和方法,引导学生基于课程内容进行联想和应用.

（4）对数学类专业主干课程的有关计算演化的教学研究,应该注重问题背景的引入,加强数值计算技术的培训,利用计算内容的特点来增强分析推理与实践性教学.

（5）强化以应用和计算问题驱动的数学教学方法的实践,有利于为本科生的毕业论文与毕业设计开拓思路,可以开展这方面的专题讨论.

除了上述方面外,还可以进一步探讨其它途径.当然,在教学实践中,会遇到各种问题和困难.比如,单元教学内容的局限性与应用和计算问题的综合性之间的困难问题；除了实际应用问题外,数学内容本身之间的相互应用关系的教学方法问题；逻辑推理、分析数学与计算演化的关系的教学方法问题.只要我们不断丰富和提炼教学内容,改进教学方法,就一定能够更好地提高教学质量,取得丰富的教学研究成果.

资助项目：国家精品课程项目（教高函[2008]22号）和湖南省教学改革项目（湘教通[2009]321号）资助.

[参考文献]

[1]谭永基,蔡志杰,俞文,数学模型[M],上海：复旦大学出版社,2005.

[2]姜启元,张立平等,数学实验（第二版）[M],北京：高等教育出版社,2006.

[3]郭迎春,实验与教学相结合改革高等数学教育模式[J],数学教育学报,2008,17（3）：76-77.

[4]顾沛,数学文化[M],北京：高等教育出版社,2008.

[5]陈克胜,基于数学文化的数学课程在思考[J],数学教育学报,2009,18（1）：22-24.

[6]韩旭里,大学数学教程（第二版）[M],北京：科学出版社,2008.

[7]韩旭里,数值分析[M],北京：高等教育出版社,2011.

（作者单位：中南大学数学与统计学院湖南长沙）