本站原创摘 要 ：本文笔者针对数学分析学习指导书的一道习题,给出了不同的解法,并以此说明做习题过程中体会总结并与所学知识和已有的结论联系尤为重要.
关 键 词 ：数学分析 第一类曲面积分
数学分析是大学数学专业的一门重要基础课程,其特点是抽象严谨,解题方法又灵活多变.因此,教师如何在教学中引导学生在做题的过程中运用本课中常用的方法,并联系所学知识,自觉地体会总结,就显得尤为重要.
一、预备知识
1. 定义：设S是空间可求面积的曲面,函数f（x,y,z） 定义在S上.给S任一分法T,将其分成n 份,记小曲面的面积分别为：△S1,△S2,等,△Si,等,△Sn,任取一点（?孜i,?浊i,?灼i）∈Si,作和式f（?孜i,?浊i,?灼i）△Si.记||T||等于{di}（di为Si的直径）,若极限f（?孜i,?浊i,?灼i）△Si存在且与分法T 和取法（?孜i,?浊i,?灼i）均无关,则称此极限为f（x,y,z） 在曲线S上的第一类曲面积分,记作：
f（x,y,z）ds等于f（?孜i,?浊i,?灼i）△Si.
2. 引理1：若曲面S可用函数z等于z（x,y）表示,且具有连续偏导数,f（x,y,z） 在S连续,Dxy为S在xoy面上的投影区域,则：
f（x,y,z）ds等于f（x,y,z（x,y））dxdy
3. 引理2：若光滑曲面S：x等于x（u,v）y等于y（u,v）z等于z（u,v）,（u,v）∈D,则f（x,y,z）ds等于f（x（u,v）,y（u,v）,z（u,v））dudv,
其中,E等于x2u+y2u+z2u,G等于x2v+y2v+z2v,F等于xuxv+yuyv+zuzv
二、主要内容
数学分析学习指导书中有这样一道题：
计算曲面积分（x2,y2）ds,其中S是球面x2+y2+z2等于a2.
解法一： 设S1：z等于,x2+y2≤a2；
S2：z等于-,x2+y2≤a2.
由第一类曲面积分公式有
（y2+z2）ds等于（y2+z2）ds+（y2+z2）ds
≤2dxdy
令x等于rcos?兹y等于rsin?兹则0≤r≤a0≤?兹≤2?仔, 因此,
dxdy等于rdrd?兹等于rdrd?兹
等于（+）dr2等于[-（a2-r2）-2a2（a2-r2）]
等于·a3等于?仔a4
所以,（y2+z2）ds等于?仔a4
解法二： 设S的参数方程为x等于asin?渍cos?兹y等于asin?渍sin?兹x等于acos?渍,则D：0≤?渍≤?仔,0≤?兹≤2?仔且
E等于x2?渍+y2?渍+z2?渍等于a2cos2?渍cos2?兹+a2cos2?渍sin2?兹+a2sin2?渍等于a2,
G等于x2?兹+y2?兹+z2?兹等于a2sin2?渍sin2?兹+a2sin2?渍cos2?兹+a2sin2?渍,
F等于x?渍x?兹+y?渍y?兹+z?渍z?兹等于-a2sin?渍cos?渍sin?兹cos?兹+a2sin?渍cos?渍sin?兹cos?兹等于0
所以,
（y2+z2）ds等于（a2sin2?渍sin2?兹+a2cos2?渍）d?渍d?兹
等于d?兹a4（sin2?渍sin2?兹+cos2?渍）sin?渍d?渍
等于2a4d?兹等于?仔a4.
解法三：
因为球面S关于分别平面x等于y,平面x等于z,平面y等于z对称,
所以,x2ds等于y2ds等于z2ds.
进一步,有
（y2+z2）ds等于（x2+y2+z2）ds等于a2ds
等于a2·4?仔a2等于?仔a4
做完题目后, 学生可能会觉得第一、二种解法没有第三种方法简单.但是,我们利用第一、二种解法的主要目的是让学生熟悉公式,了解到常规方法的重要性,第三种方法是在掌握第一、二种方法的基础上,让学生学会观察、分析,根据所给问题的特征解决问题.总之,数学分析由于抽象,因此需要学生多做练习, 并且要考虑它的不同解法,由此对所学内容加深理解.在教学实践中,教师可以帮助学生前后联系、经常总结,学生就会对这门课感兴趣,非常愿意去学习并能学好它.