充分条件、必要条件简

1.充分条件、必要条件说的是两个命题之间的关系

设A是一个命题,B是另一个命题,则以下四句话的意思完全相同：

①如果A成立,那么B成立（有时简记作：AB）,

②如果B不成立,那么A不成立（有时简记作：）,

③A是B的充分条件,

④B是A的必要条件.

它们当中任何一个为“真”,则另外三个也为“真”,任何一个为“检测”,则另外三个也为“检测”.

这里,①,②互为逆否命题,我们常常以①（或②）的“真”来判断③,④的“真”,以①（或②）的“检测”来判断③,④的“检测”.

例1因为“x等于1x2等于1”是真命题,所以,“x等于1”是“x2等于1”的充分条件,“x2等于1”是“x等于1”的必要条件.

例2因为“x2等于4x等于2”是检测命题,所以,“x2等于4”不是“x等于2”的充分条件,“x等于2”不是“x2等于4”的必要条件.

2.对任意两个确定的命题A和B,下面四个判断总是有且只有一个为“真”

①A是B的充分但不必要条件

②A是B的必要但不充分条件

③A是B的充分必要条件（充要条件）

④A是B的既不充分也不必要条件

例3“△ABC是等边三角形”是“△ABC中AB＝AC”的什么条件?

解一方面,若△ABC是等边三角形,则△ABC中AB＝AC,可见,“△ABC是等边三角形”“△ABC中AB＝AC”.

另一方面,在△ABC中,若AB＝AC,则有可能BC＝AB,可见,“△ABC中AB＝AC”“△ABC是等边三角形”.

所以,“△ABC是等边三角形”是“△ABC中AB＝AC”的充分但不必要条件.

例4“四边形有一组对边平行”是“四边形是梯形”的什么条件?

解一方面,若四边形是梯形,则四边形有一组对边平行,可见,“四边形是梯形”“四边形有一组对边平行”.

另一方面,若四边形有一组对边平行,则四边形可能是梯形,也可能是平行四边形,可见,“四边形有一组对边平行”“四边形是梯形”.

所以,“四边形有一组对边平行”是“四边形是梯形”的必要但不充分条件.

例5“x>y”是“x5>y5”的什么条件?

解一方面,若x>y,则x5>y5,可见,“x>y”“x5>y5”.

另一方面,若x5>y5,则x>y,可见,“x5>y5”“x>y”.

所以,“x>y”是“x5>y5”的充要条件.

例6“a,b是无理数”是“a+b是无理数”的什么条件?

解一方面,-,都是无理数,但（―）＋是有理数,可见,“a,b都是无理数”“a+b是无理数”.

另一方面,6+是无理数,但6不是无理数,可见,“a,b是无理数”“a+b都是无理数”.

所以,“a+b都是无理数”是“a+b是无理数”的既不充分也不必要条件.

3.充分条件具有传递性

即：如果A1是A2的充分条件,A2是A3的充分条件,等,An-1是An的充分条件,那么,A1是An的充分条件.

必要条件也具有传递性,即：如果A1是A2的必要条件,A2是A3的必要条件,等,An-1是An的必要条件,那么,A1是An的必要条件.

由此,对较复杂的充分条件、必要条件判断题,我们可以用画图的方法求解.

例7如果A是B的充分条件,B是C是充要条件,那么,A是C的什么条件?

解依题意画图：ABC,即知,A是C的充分条件.

例8如果A是B的必要条件,B是C的充分条件,C是D的必要条件,D是E的必要条件,E是A的必要条件,E是B的充要条件,那么,A是D的什么条件?C是E的什么条件?A是B的什么条件?

解依题意画图：

即知,A是D的充分条件,C是E的必要条件,A是B的充要条件.

4.在做充分条件、必要条件判断题时,必须注意：没说“能推出”,不等于“不能推出”