本站原创【摘 要】对二元函数极值存在的充分条件给出了一种新的证明方法,并对此充分条件的结论做了适当补充.
【关 键 词 】二元函数 极值 充分条件
一、二元函数极值存在充分条件及其证明
则函数在处是否取得极值的条件如下：
（1）当时,具有极值.且当时,有极大值；当时有极小值；
（2）当时,没有极值；
（3）当时,若,则除了在的邻域内满足的点之外,有极小值；若,则除了在的邻域内满足的点之外,有极大值；若且时,若有极小值,若,有极大值.
分析：若函数在处取得极值,不妨设取得极大值.即存在的某个邻域 ,对且,都有.所以,在此邻域内,任意过的直线及上的点,都有.即对,为曲线 及曲线的极大值点.
反之,若能证明,对,为曲线 及曲线的极大值点,即为一元函数的极大值点,和为一元函数的极大值点,则就证明了为函数的极大值点.
对极小值点的情况,可作类似的讨论.
证明：任作过且与面垂直的平面
（1）若,当时,对,$所以, 为函数的极大值点；
当时,对部分对部分,所以, 对部分为函数的极大值点,对部分是函数的极小值点；
当时,对时,为函数的极大值点.
（2）若,作与（1）类似的讨论,可得：
当时,对为函数的极小值点；
当时,对部分为函数的极小值点；对部分为函数的极大值点；
当时,对时,为函数的极小值点.
（3）若,当时, 的符号对部分为正,对部分为负,所以,对部分,为函数的极小值点,对部分,为函数的极大值点.此时, .
当时,若,则,从而为函数的极小值点.若,则,从而为函数的极大值点.
由于不包括的直线,下对上的点作另外的讨论.
作平面,其截曲面得曲线对一元函数有
即为一元函数的驻点.又
若,为一元函数的极小值点.若,为一元函数的极大值点.
综上述：
（1）当时,函数具有极值.且当时,有极大值,当时有极小值；
（2）当时,没有极值；
（3）当时,若,则除了在的邻域内满足的点之外,有极小值；若,则除了在的邻域内满足的点之外,有极大值；若且时,若有极小值,若,有极大值.
二、举例
例：求函数的极值与极值点.
解：由函数极值的必要条件,令
因在驻点处,,故题给的函数在处取得极小值,点都为它的极小值点,其极小值为.
在驻点处,则在点的邻域内除满足的点之外,题给函数在处取得极小值0.但当时所以,不是题给函数的极值点.