数学期望与经济生活

摘 要：概率统计是研究随机现象与统计规律的科学,数学期望是反映随机变量总体取值的平均水平的一个重要的数字特征.概率问题与我们的生活紧密联系,在经济生活中,有许多问题都可以直接或间接的利用数学期望来解决.通过几个例子将数学期望与经济生活中的问题结合,用具体实例说明利用数学期望方法解决经济生活中的经济决策的可行性,体现了数学期望在经济生活的经济决策问题中的应用.

关 键 词：概率统计；数学期望；统计规律；经济生活

中图分类号：F224文献标志码：A文章编号：1673-291X（2013）17-0194-02

一、数学期望的由来及定义

(一)数学期望的由来

17世纪的欧洲,贵族中盛行.当时法国有一位非常伟大的物理学家、数学家帕斯卡（大气压强的单位就是以此人的名字命名的）,他的两位贵族朋友也喜欢.一日,两人各拿出等额的资金进行.他们玩了一种游戏,在一局游戏中,他们胜出的概率是一样大的,也就是说,这种游戏是完全靠运气的.两人约定,谁先赢满5局,谁就赢得所有赌金.在甲赢了4局,乙赢了3局时,一突发事件使得赌局不得不中止,这时有一个非常现实的问题是,赌金该怎样分.他们将这个问题交给了帕斯卡,帕斯卡并没有立即给出答案.而是与法国另外一位大数学家费马进行讨论.那么,他们是怎样解决这个问题的呢?

(二)定义

数学期望（mathematicalexpectation）简称期望,又称均值,是概率论中一项重要的数字特征,在经济管理工作中有着重要的应用.本文通过探讨数学期望在经济和实际问题中的一些简单应用,以期起到让学生了解知识与人们实际生活紧密联系的丰富底蕴,切身体会到“数学的确有用”.

1.离散型随机变量的数学期望

设离散型随机变量X的分布规律为若级数绝对收敛,则称级数的和为随机变量X的数学期望,记为E（X）.即E（X）等于

2.连续型随机变量的数学期望

设连续型随机变量X的概率密度函数为f（x）,若积分绝对收敛,则称积分的值为随机变量X的数学期望,记为E（X）,即E（X）等于

3.随机变量函数的数学期望

设Y是随机变量X的函数：Y等于g（X）（g是连续函数）.

（i）如果X是离散型随机变量,它的分布律为P{X等于xk},k等于1,2,等.P{X等于xk},k等于1,2,等.若级数绝对收敛,则有E（Y）等于E[g（X）]等于

（ii）如果X是连续型随机变量,它的概率密度为f（x）,若绝对收敛,则有E（Y）等于E[g（X）]等于

二、数学期望在经济生活中的一些应用

怎样使自己袋里的钱能够“生出”钱来?并且可能“生出”更多的钱.近年来,投资理财已成为大众生活的热门话题之一,人们都希望通过一定的方式使自己的家庭资产获得最大收益.面对五花八门的投资理财,我们该如何作出决策?决策方案即将数学期望最大的方案作为最佳方案加以决策.它帮助人们在复杂的情况下从可能采取的方案中做出选择和决定.具体做法为：如果知道任一方案Ai（i等于1,2,等m）在每个影响因素Sj（i等于1,2,等m）发生的情况下,实施某种方案所产生的盈利值及各影响因素发生的概率,则可以比较各个方案的期望盈利,从而选择其中期望盈利最高的为最佳方案.

例1某人用10万元进行为期一年的投资,有两种投资方案：一是购写股票；一是存入银行获取利息.写股票的收益取决于经济形势,若经济形势好可以获利4万元,形势中等可获利1万元,形势不好要损失2万元.如果存入银行,检测设利率为8%,可得利息8000元；又设经济形势好、中、差的概率分别为30%、50%、20%.试问选择哪一种方案可使投资的效益最大?

解：由题设可知,在经济形势好和中等的情况下,购写股票是合算的；但如果经济形势不好,那么采取存银行的方案合算.然而现实是不知道哪种情况会出现,因此,要比较两种投资方案获利的期望大小.

购写股票的获利期望是E1等于4×0.3+1×0.5+（-2）×0.2等于

1.3（万元）

存入银行的获利期望是E2等于0.8（万元）

因为E1>E2,所以购写股票的期望收益比存入银行的期望收益大,应采取购写股票的方案.

购写保险是我们日常生活当中非常重要的一件事情,高额的赔偿金是我们选择各类保险的一个重要理由.通过本题的计算,我们可改变一下平时的看法,我们并不是保险的最大受益者.

例2据统计,在一年内健康的人死亡率为2‰,保险公司开展保险业务,参加者每年支付20元保险金,若一年内死亡,公司赔偿A元（A>20元）,问A应为多少,才能是保险公司获益?解：设随机变量X为保险公司从每一个参加保险者处获得的净收益,X的概率分布为：

要是,得到20（三）超市问题

写彩票、摸奖、有奖销售中的高额大奖刺激人心,每个人都期望自己拥有那份幸运,然而事实真如我们所期望的那样吗?通过下面计算期望值可以看出,这一切活动我们都应少参加,三思而后行.

例3某超市现有一批快到期的日用产品急需处理,超市老板设计了免费活动来处理掉这些产品.纸箱中装有20个大小相同的球,10个10分,10个5分,从中摸出10个球,摸出的10个球的分数之和即为分数,获奖如下：

一等奖1000分,冰箱一台,价值2500元

二等奖50分,电视机一台,价值1000元

三等奖95分,洗发精8瓶,价值178元

四等奖55分,洗发精4瓶,价值88元

五等奖60分,洗发精2瓶,价值44元

六等奖65分,牙膏一盒,价值8元

七等奖70分,洗衣粉一袋,价值5元

八等奖85分,香皂一块,价值3元

九等奖90分,牙刷一把,价值2元

十等奖70分与80分为优惠奖,仅收成本价22元,将获得洗发精一瓶.

解：表面上看整个活动都是对顾客有利的,一等奖到九等奖都是白得的,只有十等奖才收取一点成本价.但经过分析可以知道商家真的就亏损了吗?顾客就真能从中获得抽取大奖的机会吗?摸出10个球的分值只有11中情况,用X表示摸奖者获得的奖金金额数,一等奖等分100分,其对应事件,

X的取值为2500、1000、176、88、44、8、5、3、2、-22,概率可以类似求出,其概率分布为等于-10.098

表明商家在每一次的中将获得10.098元,而平均每个者都花10.098元来享受这种免费的.从而可以看出顾客真的就占到了大便宜了吗?相反,商家采用这种方法不仅把快要到期的商品处理出去了,而且还为超市大量集聚人气,不愧为一举多得.此百货超市老板运用数学期望估计出了他不会亏损而做了这个免费活动,最后一举多得.从中也看出了数学期望这一科学的方法在经济决策中的重要性.

从上面的例子可以看出,数学期望与我们的经济生活有着紧密联系,通过它我们可以更好地解决生活中的许多问题,作出科学准确的决策.当然,除了上述的例子外,还有很多实际例子,需要我们在以后的日常生活中去发现.