本站原创2013年全国高考数学山东卷理科第22题：椭圆C：x2a2+y2b2等于1 （a>b>0）的左、右焦点分别是F1,F2,离心率为32,过F1且垂直于x轴的直线被椭圆C截得的线段长为l.（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）点P是椭圆C上除长轴端点外的任一点,连接PF1,PF2.设∠F1PF2的角平分线PM交C的长轴于点M（m,0）,求m的取值范围；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下,过点P作斜率为k的直线l,使得l与椭圆C有且只有一个公共点.设直线PF1,PF2的斜率分别为k1,k2,若k≠0,试证明1kk1+1kk2为定值,并求出这个定值.
此题题设简明、立意新颖,主要考查椭圆方程、直线方程、三角形内角平分线、直线和椭圆的位置关系、两点连线的斜率公式等基础知识,考查运算求解能力、抽象概括能力、推理论证能力,考查函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想.是较好的压轴题.
笔者将此题作为能力测试题,对所教高二两个理科实验班学生测试,测试时间为20分钟,满分为14分,结果两班108位同学只有2个同学得14分,10分以上的同学22人,8分以上的同学41人,平均得分6.9分,难度系数为0.49.笔者所教两个班是全年级学生程度最好的两个班,尚且得分率不高,何况大部分学生主要靠第（Ⅰ）小题得分,鉴于此,笔者对此题做了认真探究.
1.解法探究
（Ⅰ）由题意容易求得椭圆C的方程为x24+y2等于1.
（Ⅱ）解法1：设P（x0,y0）（y0≠0）.又F1（-3,0）,F2（3,0）所以直线PF1,PF2的方程分别为lPF1∶y0x-（x0+3）y+3y0等于0,lPF2∶y0x-（x0-3）y-3y0等于0.由题意得|my0+3y0|y20+（x0+3）2等于|my0-3y0|y20+）（x0-3）2.由于点P在椭圆上,所以x204+y20等于1,则|m+3|（32x0-2）2等于|m-3|（32x0+2）2.所以m等于34x0.
因为-3 解法2 设P（x0,y0）（y0≠0）.由题意得|PF1||PF2|等于|F1M||F2M|,即（2+32x0）（3-m）等于（2-32x0）（3+m）,解得m等于34x0.因为-2 （Ⅲ） 证法1：设P（x0,y0）（y0≠0）,则直线l方程为y等于y0等于k（x-x0）.将l方程代入椭圆方程x24+y2等于1,整理得（1+4k2）x2+8（ky0-k2x0）x+4（y20-2kx0y0+k2x20-1）等于0,由题意得Δ等于0,即（4-x20）k2+2x0y0k+1-y20等于0.又x24+y20等于1,所以16y20k2+8x0y0k+x20等于0,故k等于-x04y0.由（Ⅱ）知1k1+1k2等于x0+3y0+x0-3y0等于2x0y0.则1kk1+1kk2等于1k（1k1+1k2）等于（-4y0x0）2x0y0等于-8等于定值. 证法2 设P（x0,y0）（y0≠0）,因为直线l与椭圆C有且只有一个公共点,则直线l是过P点与椭圆C相切的切线. 在方程x24+y2等于1两边对x求导得12x+2yy′等于0,所以k等于-x04y0.以下证法与证法1相同. 2. 结论推广 定理1 椭圆C：x2a2+y2b2等于1 （a>b>0）的左、右焦点分别是F1,F2.点P是椭圆C上除长轴端点外的任一点,连接PF1,PF2.设∠F1PF2的内角平分线PM交C的长轴于点M（m,0）,则-a2-b2a 引理1 椭圆C：x2a2+y2b2等于1 （a>b>0）的左、右焦点分别是F1,F2.点P是椭圆C上除长轴端点外的任一点,连接PF1,PF2.则∠F1PF2的外角平分线PH与椭圆C相切. 证明 设P（x0,y0）（y0≠0）,∠F1PF2的内角平分线PM交C的长轴于点M（m,0）. 由题意得|PF1||PF2|等于|F1M||F2M|,即a+ex0a-ex0等于m+cc-m（其中e为椭圆的离心率,c2等于a2-b2）,解得m等于e2x0. 若x0等于0,显然∠F1PF2的外角平分线PH与椭圆C相切. 若x0≠0,因为m等于e2x0,所以直线PM的斜率kPM等于y0x0-e2x0等于a2y0b2x0,因为PH⊥PM,所以外角平分线PH的斜率kPH等于-b2x0a2y0.而过点P与椭圆C相切的切线斜率为-b2x0a2y0,则∠F1PF2的外角平分线PH与椭圆C相切. 定理1 证明： 设P（x0,y0）（y0≠0）.由引理1的证明得m等于e2x0,因为-a 引理2 双曲线C：x2a2-y2b2等于1 （a>0,b>0）的左、右焦点分别是F1,F2.点P是双曲线C上除顶点外的任一点,连接PF1,PF2.则∠F1PF2的内角平分线与双曲线相切. 证明：设P（x0,y0（y0≠0）,∠F1PF2的内角平分线PM交C的实轴于点M（t,0）. 由题意得|PF1||PF2|等于|F1M||F2M|,即ex0+aex0-a等于t+cc-t（其中e为双曲线的离心率,c2等于a2+b2）,解得t等于a2x0.所以∠F1PF2的内角平分线PM的斜率kPM等于y0x0-a2x0等于x0y0x20-a2,又x20a2-y20b2等于1,则kPM等于b2x0a2y0. 方程x2a2-y2b2等于1两边对x求导得2xa2-2yy′b2等于0,即y′等于b2xa2y,则过点P与双曲线相切的切线斜率等于b2x0a2y0等于kPM,故∠F1PF2的内角平分线与双曲线相切. 定理2证明： 设P（x0,y0）（y0≠0）,由引理2证明知∠F1PF2的内角平分线PM的斜率kPM等于b2x0a2y0,因为PH⊥PM,所以∠F1PF2外角平分线PH的斜率kPH等于-a2y0b2x0,则直线PH的方程为y-y0等于-a2y0b2x0（x-x0）,令y等于0得x等于e2x0,即m等于e2x0,又x0<-a或x0>a.则m<-a2+b2a,或m>a2+b2a.1k1+1k2等于x0+cy0+x0-cy0等于2x0y0,k等于kPM等于b2x0a2y0,1k等于a2y0b2x0, 则1kk1等于1kk2等于2x0y0a2y0b2x0等于2a2b2等于定值.