职业高中数学不等式解题法

在职业高中数学教学中,不等式解题是一难点,下面提供本人对不等式解题的几种方法:

一、“抓两头 看中间”,巧解“双或不等式”——不等式的解法

(1)解不等式(组)的本质就是对不等式(组)作同解变形、等价变换.

(2)多个不等式组成的不等式组解集的合成——先同向再异向:

如解不等式组:

先由③④(同>)得x>0(大于大的),再由①②(同<)得x<1(小于小的),再将x>0与x<1分别与⑤作交集,由x>0与⑤得0

二、小小等号也有大作为——绝对值不等式的应用

绝对值不等式:||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|.这里a,b既可以表示向量,也可以表示实数.

当a,b表示向量时,不等式等号成立的条件是:向量a与b共线,

当a,b表示实数时,有两种情形:(1)当ab≥0时,|a+b|等于|a|+|b|,|a-b|等于||a|-|b||,(2)当ab≤0时,|a+b|等于||a|-|b||,|a-b|等于|a|+|b|.简单地说就是当a,b同号或异号时,不等式就可转化为等式(部分地转化),这为解决有关问题提供了十分有效的解题工具.

三、巧用均值不等式的变形式解证不等式

均值不等式是指:

a2+b2≥2ab(a,b∈R) ①

a+b≥2( a,b∈R+) ②

均值不等式是高考的重点考查内容,但其基本公式只有两个,在实际解题时不是很方便.若能对均值不等式进行适当变形,那么在解题时就能达到事半功倍的效果.如:

a2≥2ab-b2 ③

是将含一个变量的式子,通过缩小变为含两个变量的式子,体现增元之功效,当然反过来即是减元,

(2)≥2a-b ④(a,b>0)

是将分式化为整式,体现分式的整式化作用,

(3)ab≤ ⑤

利用不等关系实现两数和与两数积的互化.

四、活用倒数法则 巧作不等变换——不等式的性质和应用

不等式的性质和运算法则有许多,如对称性、传递性、可加性等.但灵活运用倒数法则对解题,尤其是不等变换有很大的优越性.

倒数法则:若ab>0,则a>b与<等价.

此法则在证明或解不等式中有着十分重要的作用.

五、不等式中解题方法的类比应用

三种基本方法:比较法、分析法、综合法.其中比较法可分为作差比较法和作商比较法,不仅在不等式的证明和大小比较中有广泛的应用,同时在其他方面也有很大的作用.如分析法就是一种重要的思维方法,在数学的其他章节中也有广泛的应用.

活题巧解

例若1<<,则下列结论中不正确的是【 】

A. logab>logba B. | logab+logba |>2

C. (logba)2<1 D. |logab|+|logba|>|logab+logba|

【巧解】特例法、排除法

由已知,可令a等于,b等于,则logab等于log23>1,0

log32<1,于是A、B、C均正确,而D两边相等,故选D.

【参考文献】

[1]丁百平,数学(基础模块)上册. 人民教育出版社,2009.

[2]戴士弘,职业教育课程教学改革[M]. 北京:清华大学出版社,2007.