概率与统计的复习

近几年的高考应用题都主要着眼于概率,统计分布列等,应该属于必拿分的板块.针对概率与统计这一块内容,我的复习思考可以简单地概括为：立足教材、关注生活、纵横联系、浸润文化、着眼高考.

一、立足教材

“立足教材、重视基础”这句话本身只是一句苍白无力的口号,或者说是一句正确的废话.问题的关键在于如何用好教材与如何重视基础,即具体如何操作.由于概率与统计这部分内容对中学教师来说还没有太多的经验,相关习题的应用性又很强,而数学建模与应用性问题又正是中学教师的薄弱环节,“闭门造车”编制出来的习题常容易出现远离现实、多有漏洞或逻辑不严密等问题,仔细读读各种参考资料,不难看到这些资料上所编的习题中出现的种种问题.教师找题、改题、编题的确重要,但最后都要落脚在用好习题这一关上,才有教学效果.重视基础,不等于简单重复,而应该是循环上升,并可以积极前进.如果教学中尉基础而基础,势必会有很多简单的、机械的重复,结果可能不是强化了“三基”而是异化了“三基”,进一步禁锢了学生的思维空间.事实上,思路太窄的复习,只能让学生“只见树木,不见森林”.要解决这一问题,就要克服数学课堂“滴水不漏”的形式主义,抓住数学的实质和主线材料,采取适当集中的原则,从在量“题海”中,选出尽可能少而精的“控制题”以点带面、控制全局,将数学知识、方法等相关内容集成为一个个“三基模块”,直接组织综合复习,从而合理分配教学资源,节约教学时间.

在概率统计这一块,高考难度与教材难度几科对等,教材上可作“控制题”的经典习题其实不少,这里只举一个例子.在高三教材第一章（概率与统计）的小结与复习中,给出的参考题1（此略、详见课本,图形可参见封面）,这个问题在后面“杨辉三角”部分,又再次提出来,只不过所用铁钉分别是“等腰三角形”和“正六边形”,利用好这个素材,可将杨辉三角、概率、二项分布、二项式定理、排列组合、Fibonacci数列以及“黄金分割”等知识集成到一个模块复习,既复习了知识、解决了考点问题,又浸润了数学文化、培养了兴趣,可以说是事半功倍.

二、关注生活

法国数学家拉普拉斯说过“生活中最重要的问题实际上多半是概率问题,严格地讲,人们甚至可以说几乎所有的知识都是或然性的.而在我们能肯定知道的少量事情中,甚至在数学科学自身中,归纳和类比这样的发现真理的主要方法都是基于概率事件,所以说整个人类知识系统是与概率论相关联的.”一位外国作家也说过“概率论与统计学转变了我们关于自然、心智和社会的看法.这些转变是意义深远而且范围广阔的,既改变着权利的结构也改变着知识的结构,这些转变使现代官僚政治成形,也使现代科学成形.”

生活中其实有很多素材是很容易用高中数学知识来解释的,比如学成在电视中看的不少片,现实生活中的、游戏等等,都不难编制现实性和趣味性很浓的概率习题,通过这些习题的编制和应用,让学生在接近休闲的状态中,既学好了数学,解决了与考试有关的质量问题,又可以引导学生用数学视野看待世界、看待生活,还可以教育学生正确认识、骗局等社会现象,从而也是科学而又不空洞地对学生进行思想教育.

三、纵横联系

横向联系,指将本模块“三基”与高中数学其他关联模块综合复习,以达到循环上升的目的.概率与统计这部分内容与高中数学其他内容相比,相对而言独立性要大得多,与其他内容要作深层次的综合运用难度要大得多,但我们仍然要尽可能地联系起来,至少可以作一些浅层次的关联教学.比如这部分内容绝大多数都可以与排列、组合与二项式定理等结合复习,再通过二项式定理又可以将数列、二项分布等内容紧密结合起来.通过互斥时间、对立事件、独立重复试验等主要内容的教学,可以将“排斥、独立与相容”、“独立与制约”这些生活和数学的“双重术语”认识得更深,应用得更活,从而将集合元素个数问题中的容斥原理、逻辑关联词“或、且、非”、命题的几种形式、“任意性、存在性、唯一性”问题与反证法等相关内容结合起来复习和综合运用,起到“一个问题、多种收获”的作用.

纵向联系,主要指将现有的概率与统计与初中（特别正在实施中的初中新教材）知识联系,甚至于与未来的少部分大学知识联系起来,这里举个例子简要说明.

例：有50人,求至少有两人生日相同（不考虑同年）的概率（可用计算机或计算器）.

说明：这个问题概率论中署名的生日问题,现在已经成为初中新教材（九年级）概率与统计这一章的开篇问题.利用它的独立事件或概率的和积互补公式并借助计算器很容易求的概率,如果不计算,很少有人想到其成功率有97%之高.

四、浸润文化

高三数学复习题,在强调实用的前提下,同样可以做到有声有色,只要我们教师自身加强学习和自我修养,完全可以使我们的课堂富有“人情味”和“文化味”.事实上,数学是科学的语言,是人类文化的有机组成部分.数学既是自然科学的基础,也是独立于自然科学和社会科学之外的“模式的数学”,它还是自然科学和社会科学之间的桥梁,是一门横断科学.充分开发数学这一横断性,要概率与统计这一部分的教学中,让学生了解一点事理学、风险与决策、信息安全与等前沿性的、应用性的科学,可以提高数学课堂的文化氛围.还可以结合哲学中唯心论与唯物论的认识与争论,让学生了解东西方文化在对待概率与统计上的不同观点对社会进步所带来的巨大作用,充分发挥数学是在于孕智的双重功能.事实上,新《课标》也强调了数学文化的浸润,何况高考概率与统计方面的习题并不难,与其说简单重复地讲过多的问题,不如花点时间给学生“吹吹牛”,大胆让学生适当“坐坐飞机,先观山,后登山”,在“云里雾里”之中逐步领悟到数学,带着兴趣去学习,效果可能更好.

五、着眼高考

学习,对每一个人来说,都具有一定的功利色彩,这是不容否定的事实.高三学生的毕业出路,很大程度上取决于高考升学,如果我们的教学不落实在这个近期目标上,就无法实现全面提高学生素质的远期目标,素质教育就会成为一句空洞的口号,或者说成为“垃圾教师”为自己的无能而开脱罪责的借口.事实上,传统教育不能等同于应试教育,应试教育只是传统教育的弊端之一,素质教育不应是对传统教育的完全否定,而应是对它的改进和完善.研究性学习也不是对传统的接受性学习的完全替代,而只是一种补充.这正所谓“真理向前迈进一步,就成为了谬论”.

着眼高考,首先就要研究近几年新高考的考题和《考试说明》,才能把握到高考的走向,高考总的说来在这个模块的习题是比较简单的,但难度也肯定是要逐步提高一些的.数学高考遵循大纲,而又不拘泥于大纲,在数学网络的交汇处命题.对数学高考题的分析研究,不少中学数学杂都很多、很细、很全.这当中,有些是政策型的指令性信息,不能不重视；有些只是指导性信息,不可迷信、不要盲从,应有批判性的审慎地、理性地接受.这里就不再发表看法,有关近两年全国各地新高考概率与统计的习题,可参见后面一文,那也只是对高考原始习题的一个集中分类,之所以不再作其它层面上的深层次分析,是因为这可能不应该是我们中学一线教师本职工作,而应该是更高的一个层面上的高考命题专家的事情.我们需要作的工作,主要就是用好这些教材.