本站原创摘 要 ：定积分是微积分教学中的一个重点,同时也是一个难点,在定积分的概念教学中,如何让学生理解定积分的本质,培养数学思想,挖掘学生潜力,激发学生想象力和创造力,勇于进取,提高解决实际问题的能力是非常重要的.
关 键 词 ：定积分概念 教学设计
中图分类号：G642 文献标识码： A 文章编号：1672-1578（2013）01-0035-02
自然界中有很多量仅仅通过有限次的算术运算是计算不出来的,而必须通过分析一个无限变化过程的变化趋势才能求得结果.这正是人类文明发展中的伟大创举——极限思想和极限方法产生的客观基础.微积分的创立,是数学史上一个具有划时代意义的创举,也是人类文明的一个伟大成果,正如恩格斯评价的：“在一切理论成就中,未必再有什么像17世纪下半叶微积分的发明那样被当做人类精神的最高胜利了.”定积分又是微积分教学中的一个重点,同时也是一个难点,在定积分的概念教学中,如何让学生理解定积分的本质,培养数学思想,挖掘学生潜力,激发学生想象力和创造力,勇于进取,提高解决实际问题的能力是非常重要的,笔者在教学过程中作了如下设计：
1.注意背景知识与引入方法
定积分概念起源于求平面图形的面积,空间立体的体积,曲线段的长度,物体的重心等几何和物理问题.17世纪以前,计算这些问题缺乏一种统一的数学方法,直至牛顿和莱布尼兹建立了微积分之后,才有了统一的积分方法,并把求面积、体积、长度这一类问题和求原函数联系起来.200年后,才由黎曼用严格的形式给出了定积分的概念,也称黎曼积分.在教材中,引入定积分的两个经典引例是“曲边梯形的面积”和“变速直线运动的路程”,为了引入自然,我们采用探究式的教学方法,以培养学生的问题意识,突出数学思想方法提出问题,启动思维：
探究1：你知道如何求正方形、长方形、三角形的面积吗?这些图形都有什么特点?
探究1的设计意图：学生归纳平面图形特点是：各边都是线段组成的图形；同时把思维引向如何求面积的方向上来.
探究2：你知道圆的面积公式吗?它的面积是怎样计算的?
探究2的设计意图：学生感受求曲边图形面积的难度,回忆圆的面积求法,为本节课类比作好铺垫.
2.引入新课,探究学习
探究3：阴影部分类似于一个梯形,但有一边是曲线y等于f（x）的一段,我们把由直线x等于ɑ, x等于b（ɑ≠b）,y等于0和y等于f（x）曲线所围成的图形称为曲边梯形.如何计算这个曲边梯形的面积S?思考下面问题：
（1）曲边梯形与“直边图形”有什么区别?
（2）能否将球这个曲边梯形面积的问题转化为求“直边图形”面积的问题?
探究3的设计意图：给出曲边梯形的定义,明确本节的研究课题,由具体问题出发,激发思维热情.
我们可以针对这一问题用Mathematica软件制作一个动画,先把曲边梯形等分成10个小矩形,再将曲边梯形等分成20个、30个、70个小矩形,通过动画演示,可以使学生深刻领会定积分的思想.同样的,我们也可以做出积分上和逼近其下确界的相应图像.在传统教学中,无论教师将分点怎么增加,也无法刻画“分点无限增加”的细分过程.将动态图形鲜明、生动、形象的展现在屏幕上,学生可以清晰地看到：随着小矩形的不断增加,其面积之和就越来越接近曲边梯形的面积这一事实.是学生可以在具体的情境中体会这种无限的过程,这种“从有限中认识无限,从近似中认识精确,从量变中认识质变”的思想,是对微积分思想的朴素的直观认识.
探究4：如何求由抛物线y等于x2与直线x等于1,y等于0所围成的平面图形部分的面积S?
结论：（1）曲边梯形与“直边图形”的主要区别：曲边梯形有一边是曲线段,“直边图形”的所有边都是直线段.
（2）应用“以直代曲”的思想求曲边梯形面积,共分四步.
教师引导,学生自主完成探究.
探究4的设计意图：先研究特殊的曲边梯形的面积,简化运算,揭示思想核心.
第一步——分割：化整为零,把整体量化为局部量
第二步——近似代替：以“不变”代“变”,在局部量中做近似代替
第三步——求和：把局部量的近似值累加起来.此处,教师强调：这里的面积毕竟是近似值,不能代替真实值,尚需完善.
第四步——取极限：把整体量的近似值转化为精确值.
3.整理新知,巩固所学
探究5：求曲边梯形面积的四个步骤都是什么?这四个步骤间有何关系?
探究5的设计意图：先分后总整理一般步骤,得到一般方法,给出求解这类问题的一般步骤——“四步曲”,由特殊问题探究上升到一般认识.对曲边梯形的面积问题,注重详细分析,这一分析过程是把整体分为局部,在局部以直代曲,以不变代变,这种处理问题的思想方法即为“极限思想方法”,它是高等数学的基本思想方法,甚至可以说是微积分的灵魂,后面的各种积分都是采用这种思想方法去处理的,详细地分析面积问题后,总结所应用的方法步骤,突出强调结果是一个“和的极限”.对第二个引例,以启发为主,师生一起进行简要地分析,引导学生作出类似结论.
4.对比实例,抽象定义
上面两个问题所需的计算量,一个是几何学中的面积,一个是物理学中的路程.虽然两个量表示的实际意义不同,但计算这些量的方法和这些量的数学形式都是相同的.总结问题共性,着重指出实际中还有很多类似问题,它们都可以归结到此类相同的数学形式,因此要对这些形式进行研究,于是抽象出定积分的概念.
5.剖析概念,领会实质
给出定义后,教师应进一步阐述：（1）定积分是一个特殊的极限值,因此是一个数值,这与定积分截然不同；（2）通过解释两个“任意”,结合极限的唯一性,说明若定积分存在的话,其结果是确定的,与区间的分法与区间内点的取法无关；（3）定积分的值仅与积分区间和函数结构有关,所以更换积分变量所采用的字母,积分值不会发生变化；（4）给出定积分存在的条件.
6.归纳总结
借助多媒体与图形结合起来,更有利于学生的直观理解,体会逼近的思想.积极的师生互动能帮助学生看到知识之间的联系,有助于知识的重组和迁移.让学生自己小结,养成良好的学习习惯.