两个矩阵同时相似上三角化的MATLAB程序

摘 要：研究了两个矩阵同时相似上三角化的条件,设计出判断并计算两个矩阵能否同时相似上三角化的算法及Matlab程序.

关 键 词：同时上三角化；Matlab；程序

两矩阵同时上三角化具有较大的应用价值,但是现有的结论也只是Laffey定理："当秩（AB-BA）≤1时,存在n阶可逆方阵P,使得P-1AP与P-1BP都是上三角方阵",然而此结论并不理想,例如对于矩阵：

另外容易证明：

如果n阶方阵A、B能够同时相似上三角化,那么AB-BA是幂零矩阵.

然而此条件是否充分,似乎很难证明.

因此有必要研究使用计算机解决此问题,一方面是使用计算机判定能否同时相似上三角化、并当能时求出重要的变换矩阵P,而弥补纯理论的不足；另一方面是以计算机代替人工计算而提高计算效率、甚至完成人工所不能的工作.

1.算法研究

文献[2]有例题"设A、B∈Mn（C）且AB等于BA,则A、B可同时上三角化".其证明方法是对阶数使用数学归纳法,而归纳的关键步骤是：

因为AB等于BA,所以A、B有公共的特征向量%Z,设A%Z等于%d1%Z,B%Z等于%e1%Z,,将%Z扩为C的一组基%Z1,%Z2..,%Zn则有

再由AB等于BA得到An-1Bn-1等于Bn-1An-1,这样即可使用归纳检测设解决问题.

可见证明的关键是：A、B有公共的特征向量,An-1、Bn-1有公共的特征向量,An-2、Bn-2有公共的特征向量,等,一直下去,直到降阶至A1、B1即可得到结论.因此可得到以下算法.

2.算法设计

根据上述分析及Matlab的计算功能,设计两个矩阵同时相似上三角化的算法如下：

2.1主函数