本站原创一、数形转化,构建数学模型方便解题运用
数形转化是高中数学的重点问题,也是数学转化思想中的重要方面.在课上我们要引导学生利用数形结合解决相关数学问题.将数与形二者之间进行转换化归可以使数学问题的解答取得意想不到的效果.
在解题时可以将代数问题转化为几何问题,在代数转化为几何问题时我们可以使抽象的数学问题形象化,易于求解.
例1已知二次函数f（x）等于ax2+2x-2a-1,其中x等于2sinθ（0<θ≤7π6）.若二次方程f（x）=0恰有两个不相等的实根x1和x2,则实数a的取值范围为.
分析注意0<θ≤7π6,则-1≤2sinθ≤2,即-1≤x≤2,问题转化为二次方程根的分布问题图1,根据图象得出等价的不等式组.
解由以上分析,问题转化为二次方程ax2+2x-2a-1等于0在区间[-1,2]上恰有两个不相等的实根.由y等于f（x）的图象（如图1所示）,得等价不等式组：
Δ等于4+4a（2a+1）>0,
-1<-22a<2,
af（-1）等于a（-a-3）≥0,
af（2）等于a（2a+3）≥0.
解得实数a的取值范围为[-3,-32].
同时我们也可将几何问题转化为代数问题求解.有时,几何问题的推导需要良好的空间想象力,在同学数学水平没有达到的时候,可以通过数与形的转化而实现求解.
例2过椭圆左焦点倾斜角为60°的直线交椭圆于点A、B且|FA|等于2|FB|,则此椭圆离心率为 .
图2解本题的常规解法是：联立x2a2+y2b2等于1,
y等于3（x+c）再结合条件|FA|等于2|FB|求解FM等于BB′+13（AA′-BB′）等于13（AA′+2BB′）等于13（AFe+2BFe）,另一方面,在Rt△BC′F中∠BFC′等于60°BF等于2FC′,
故FM等于FC′+C′M等于BFe+BF2.
于是13（AFe+2BFe）等于FM等于BFe+BF2,
又|FA|等于2|FB|,所以可得e等于23.
这种数学转化的思想可以使负载的数学问题简单化.这便是化归与转化的妙用.在很多情况下直接解题会带来较大的计算量或者复杂的理论推导,将二者相互转换可以使数学解题事半功倍.
二、利用参数法转化,使解题更为快捷
在数学问题中往往需要大量的解题与证明过程.然而我们可以发现在解题时引进某些参数可以使题目迎刃而解.而解题过程中的参数则是我们这种转化方法的关键.要熟练掌握此方法,就要从题目中总结规律,发现最为简易的设参方法.
例3若不等式x2+px>4x+p-3对一切0≤p≤4均成立,则实数x的取值范围为.
分析可整理构建关于p的函数g（p）,以x为参数,转化为[0,4]上g（p）与0的大小关系进行求解.
解析∵x2+px>4x+p-3,
∴（x-1）p+x2-4x+3>0.
令 g（p）等于（x-1）p+x2-4x+3,
则要使它对0≤p≤4均有g（p）>0,只要有g（0）>0,
g（4）>0,∴x>3或x<-1.
在参数方法的利用时我们要注意利用题目中的已知条件,围绕该条件解决实际数学问题.往往题目的设立中有些提示性语言,我们可以通过对题干的分析总结设出相关参数,进行解题.
三、通过归纳总结,推求繁琐的数学问题
数学问题中的求解很多需要繁琐的数学推导才可以得到答案的.但是我们可以发现,如果在应试中真的循规蹈矩地一步一步推求数学答案,很多时候是很浪费时间的,而且学生在解题的过程中很难避免在大量的计算中出现差错.而这种差错甚至可以导致整道题目与正确答案悖离.所以在讲解相关题目时我们要运用数学归纳等方法,帮助学生在较短时间内解决复杂的数学问题.
例4设定义在R上的函数f（x）满足f（x）f（x+2）等于13,若f（1）等于f（2）等于2,则f（2011）等于.
分析直接由条件迭代算出f（2011）较难处理,若能发现规律,估计可转化为较小数的函数值来求.
解∵f（x）f（x+2）等于13且f（1）等于2,
∴f（3）等于13f（1） 等于132,f（5）等于13f（3）等于2,
f（7）等于13f（3）等于2,f（9）等于13f（5）等于132,
∴f（2n-1）等于2,
132,n为奇数,
n为偶数.
∴f（2011）等于f（2×1006-1）等于132 .
四、从逆向出发,巧解数学问题
数学问题的求解,贵在灵活.只有灵活运用数学题目,在“变”中寻求答案,才能掌握解决数学问题的关键.逆向思维是从题干实际出发,分析所求问题,在求解方法中寻求最为简便的数学方法.这种方法在高中解题中常见而典型,我们试举一例题.
例5甲、乙、丙三人各进行一次射击,如果三人击中目标的概率都是0.6,计算至少有一人击中的概率.
分析这个问题从正面分析来看包含二类,共有七种情况.分析较为繁琐,故我们逆向思维求解.
解P等于1-P′
等于1-（1-0.6）（1-0.6）（1-0.6） 等于0.936.
这种反解问题不仅在概率计算时常有应用,在几何的面积求解以及数学应用题中都有涉及.高中数学的学习要求学生能熟练掌握这种方法,巧妙运用,快速解题.数学转化与化归是高中数学中的基础解题思想.为了学生更好的学习数学知识,掌握数学方法,我们应当在课上及时总结与归纳有关数学方法.分类讲解,并选择典型例题,剖析求解.为学生在数学问题的求解以及思维的开发中提供优良的方法.我们不仅要在课堂中对这类的转化与化归进行专题训练,同时我们也要为学生布设典型的习题,方便学生课后的复习与理解.总之,数学的化归是考试中的重点,更应是课堂授课的核心,我们要巧用数学转化,帮助学生高效解题.