本站原创摘 要 ：外汇理财产品获得迅猛发展,期权问题引起国内外金融学家和数学家的关注.外汇期权定价经过多年的发展已经取得了丰富的理论成果,本文回顾了国内外外汇期权定价方法的发展历程,总结了偏微分方程法、数值法和非参数法的研究现状,并对相关方法的特点进行了分析.
关 键 词 ：外汇期权 偏微分方程法 非参数法
自1973年Black-Scholes及Merton期权定价模型（BS-M模型）出现以来,期权市场得到了空前的发展.目前外汇期权的主要方法有：偏微分方程定价法、数值定价法和非参数定价法.偏微分方程定价法是在连续时间框架中进行定价的,基于无风险套期保值定价原理.树图定价法和模拟定价法是在离散时间框架中进行定价的,都基于风险中性定价原理.然而,如果树图定价法所设置的时间间隔足够小,如果模拟定价法所设置的时间间隔足够小而且模拟次数足够多,那么树图定价法和模拟定价法的定价结果将收敛于偏微分方程定价法.对BS-M模型的改进主要在参数方法和非参数方法两个方面,其中又以参数方法居多.
一、偏微分方程法
（ 一 ）Garman-Kohlhagen模型及其扩展 自此1973年Black和Scholes在期权定价上取得重大突破后,带来了一场金融革命.后来的学者对期权定价的研究基本是运用Black和Scholes推导的微分方程,对Black-Scholes模型上的修正和扩展.由BS模型发展而来的Garman-Kohlhagen模型是专门对外汇期权的定价.早期很多外汇期权的研究工作都以Garman-Kohlhagen模型为基础展开.Adams和Wyat（1987）运用修正的Garman-Kohlhagen模型和Grabbe（1983）,对利率风险调整后发现利率差额风险显示在外汇期权定价上的重要作用.Black-Scholes模型引入多个无风险利率,与检测设条件不符合.并且利用Black-Scholes模型计算外汇期权的价值与实际价值差距大.但是与Black-Scholes模型类似,Garman-Kohlhagen模型约束条件过多,与市场的情况有差距.事实上,Garman-Kohlhagen模型导致价外期权的定价偏低.Telmer（2002）研究了基于Garman-Kohlhagen模型检测设条件下的欧式外汇期权定价,发现模型所得的理论价值与实际之间的存在差异.近年来国内外学者都着力于改进Garman-Kohlhagen模型.
（ 二 ）跳跃扩散模型 Garman-Kohlhagen模型不能解释市场崩溃或大量投资者狂热写入时候,随机波动与标的资产的扩散过程的连续属性相矛盾.Bodurtha和 Courtadon （1987）, Tucker（1991）实证发现Merton（1976）的跳跃扩散模型能够消除Garman-Kohlhagen模型产生的偏差.当标的资产带跳,评估定价方程的传统套期保值方法无法应用.不确定跳数量的跳跃禁止套期保值构建无风险的套期保值组合,即使是连续交易规则.为避免这个问题,Merton（1976）提出混合跳跃扩散过程.他检测设股票服从一个几何布郎运动再加上一个的跳跃过程,这个跳跃过程服从泊松分布.意为市场信息流主要由一个布朗运动掌握,但偶尔出现极端跳跃,模型检测定跳跃部分属于非系统风险.但对外汇期权而言,Merton对多样跳跃风险的检测设是不能成立的.Trautmann 和Beinert（1995）利用ML技术估计泊松跳跃扩散模型,描述活跃交易股票的收益情况,发现跳跃风险的显著性和系统性.Akgiray和Booth （1989）证明了最适合解释汇率变化的随机过程是跳跃扩散过程.McCulloch （1985,1987）提出的模型都带有汇率的独立厚尾震荡特征.为解决BlackScholes模型的隐含波动率里的波动微笑问题,Bates（1991）提出跳跃的汇率风险系统性下美式外汇期货期权的定价模型.Mo（1996）也推导出汇率风险系统性下外汇期权的定价.他用一个简单的均衡国际资产定价模型,该模型是在连续交易和无冲突国际资本市场条件下.国内外水平作为状态变量引入,包含由货币流通紊乱或灾难性时间的跳跃.在模型中国内外利率是随机和内生决定的,受到汇率跳跃风险的影响.Beta（l996）认为用扩散过程模型化随机波动率是不够的,还应结合跳跃过程解释过度峰值.他检测设汇率的动态过程遵循平方根过程的条件下,考虑了汇率呈现跳跃-扩散过程时的外汇期权定价模型.这个模型描述了波动率微笑、波动率群聚现象、波动率的时变性以及收益分布的厚尾多种现象.时间变化levy过程能够解决三个问题：资产跳跃导致非正态收益率创新；收益率的波动率的随机性；收益率与波动率相关.Carr和Wu（2007）系统研究了汇率服从时变Levy过程时外汇期权的定价问题.levy过程是一个连续时间随机过程,levy过程的框架包括了期权定价文献的所有模型,可以直接的用特征函数选择和测试特别的期权定价模型.Madan（1991）提出可选随机过程,即所有信息都带跳.与跳跃扩散的相关低频跳不同,除了低频大跳,还用大量小跳的高活跃过程,即用增量服从方差Gamma分布的levy 过程描述股票收益率.就是一个Gamma过程控制的任意时间变化的偏移的布朗运动的评估.这个VG定价过程的特点有,在VG过程里,资产高度离散,交易不完全,VG过程除了波动率参数,只有两个参数,布朗运动的漂移参数和gamma过程的方差率； VG过程是一个高活跃的离散过程,承认任何时间间隔的大量离散运动.Elton和Dilip（2005）用方差Gamma期权定价模型对外汇期权做定价.实证表明VG模型要优于改进的BS模型和跳跃扩散模型.除了汇率服从跳跃扩散条件外,一些学者同时放松了利率的约束.在国内外利率随机,汇率服从一个可能的非对称、随机跳跃扩散过程的检测设条件下,Doffou和Hilliard（2001）提出一个理论外汇期货和期权框架.该定价模型采用Bates（1991,1996）的跳跃扩散模型,但国内外利率采用Vasicek期限结构框架,国内外利率服从无套利扩散过程.研究发现外汇远期依赖于国外利率参数,外汇期货依赖于国内外利率的参数,但都不受汇率跳跃的检测设的影响.汇率的跳跃过程对外汇期权的定价影响很大.由此可以看出,外汇远期和期货的由标的资产的完全分布的预期得到,期权由标的资产部分分布的预期得到,因此标的资产收益率的非正态偏度和峰度影响期权,但不影响期货和远期.Guo（2008）用HeathJarrowMorton （HJM）框架获得随机波动率和双跳下的美式外汇期权的近似价值.这种跳跃对提前执行价值有重要影响. （ 三 ）随机波动率模型 Black-Scholes模型检测设波动率为常数与现实市场有一定的偏差,期权市场数据中隐含波动率关于敲定曲线的“微笑”和“偏斜”效应证明了这一点.Carr和Wu（2007）实证证明汇率市场隐含波动率是钱性的U形函数,即有名的波动率微笑.这表明汇率收益率的风险中性条件分布是厚尾的.固定钱性和到期时间隐含波动率在样本时间内的实质性的时间变化,意味着汇率收益率的波动率是随机时间变化.波动率不是常数而是随机的,这启发提出随机波动率模型.Hull和White（1987）,Stein和Stein（1991）以及Heston（1993）提出连续时间随机波动模型.Stein和Stein（1991）随机波动率服从算术OU过程和几何布朗运动.Hull和White（1987）等人将波动率定义为由第二个布朗运动驱动的扩散过程,并讨论了在这种随机波动率模型下,基础股票无分红的欧式期权定价问题.他们的模型都检测设波动率和资产的随机信息源互不相关.Heston（1993）检测定波动率和资产的随机信息源存在负相关的随机波动率模.Heston（l993）导出了随机波动率下的外汇期权显式解.Heston的模型在期权定价中受到广泛关注,因为他提出了期权定价的闭区间表达.Bodurtha和Courtadon （1987）提出用时变的隐含波动率替代BS-M模型中的常数波动率为外汇期权定价.由于汇率的均值回复特性,用均值回复描述汇率随机波动的模型较多.Sweeney （2006）用G-10 nominal汇率实证均值回复特征.Ekvall（1995）提出汇率服从如OU过程的均值回归过程下的外汇期权定价模型.Ekvall（1995）解释了汇率服从均值回归的几个原因.原因之一就是汇率的均值回归是银行保持汇率接近预期目标值的干预手段,因此均值回归的速度可以作为银行干预的测量.通过国内外无风险利率符合无抛补利率平价理论,而与均值回归下的汇率相联系,用均衡模型推导出外汇欧式期权的封闭解.Hui（2006）采用Ekvall的模型建立路径依赖外汇期权的定价应用,Hui（2007）建立香港港元与美元的外汇期权定价模型.模型检测定远期汇率服从均值回归过程.该模型用远期汇率做随机变量考虑了两个的随机利率.在汇率盯住制度下,两个利率必然与汇率相关.香港实行联动汇率制度.银行一般会干预稳定汇率在区间,但没有固定的边界.均值回归过程刚好能够描述这种汇率制度特点,在区间内而没有固定的边界.汇率时间序列的波动通常具有以下典型特征：厚尾,波动聚集性,杠杆效应,长记忆性和持续性等.对汇率波动的以上特征进行建模的模型可分为两大类：一类是自回归条件异方差模型（ARCH）；另一类是随机波动模型（Stochastic Volatility Model,SV）.Duan （1995）对GARCH模型在期权定价方法做了系列研究.他认为GARCH模型可以解释大部分期权定价的偏差.GARCH模型表明,BS-M模型低估了价外期权,对低波动率的基础资产和期限较短的期权也存在低估的现象,而GARCH模型在这些期权的定价中表现明显优于BS-M模型.Chaudhury和Wei （1996）对Duan（1995）的GARCH 期权定价模型与其他模型比较,发现GARCH 期权定价模型对到期时间短和价外期权定价很有效.Hoque（2008）的实证证明总的来说实际波动模型（Realized Volatility Model,RVM）优于隐含波动模型和GARCH波动模型.样本内GARCH波动模型优于样本外的隐含波动模型.因此可以用RVM模型处理高频当天数据来获得定价隔天交易的期权的有效信息.Duan（2001）系统地提出在一般均衡及局部风险中性（locally risk-neutral valuation relationship）的框架下使用GARCH模型为外汇期权定价.研究了两个国家情况下的GARCH的期权定价方法,检测定汇率的双变量非线性非对称的GARCH模型.首先定义一个均衡定价方法,推导出汇率风险中立GARCH过程,然后再用蒙特卡罗模拟评估.Taylor（1986）提出随机波动模型（SV）.SV模型具有数理金融学和金融计量经济学的双重根源,非常贴近金融理论,作为ARCH类模型的替代,SV模型近些年来引起了国内外学术界的广泛兴趣.Yu（2006）在基本SV模型的基础上提出了一组非线性的SV模型（N-SV ）对外汇期权定价,所谓的N-SV模型包含了对数SV模型以及其他一般的参数SV模型,能够方便地进行检验.模型诊断显示,当市场波动较小时,使用非线性的模型可以更好地拟合历史数据.
（ 四 ）其他偏微分方程定价模型 随机利率模型是利率期限结构中的关键研究方向,由于外汇期权定价模型牵涉到两国的无风险利率,放松利率的约束条件也是外汇期权定价模型的发展方向之一.Merton（1970）最早用随机微分方程描述利率运动的变化.Jarrow（1991）和Hilliard（1991）的随机利率模型放松了国内外利率是常数的这一检测设条件.但是大部分检测定利率服从对数正态分布,因此这些模型不能解释很多来自观察数据的系统偏差.Hilliard（1991）检测定国内外债券具有只依赖时间的局部方差的条件下,建立一个外汇期权定价模型.随机利率模型通常分均衡模型和无套利模型.随机利率模型的单因素均衡模型中,检测设只由一个不确定因素影响短期利率.短期利率的变化可以分解成两个部分漂移项和扩散项,均与当前的利率水平有关,独立于时间.不同的单因素均衡模型对短期利率的漂移项和扩散项上限制不同.随着经济政治环境改变,相关的金融变量也产生变化.汇率的变化在正常稳定的经济中保持稳定的波动,但在偶尔出现极高的波动转换,主要是体制转换.另外战争 OPEC石油危机/金融危机等宏观经济和政治因素将导致汇率或短期利率在高低波动体制变化.Hamilton （1989,1994）首先提出体制转换的外汇期权定价模型.模型模拟了两个或多个随机数据过程,每个随机过程有明显的结构和不同的参数值,代表不同的体制,每个制度变量遵循马尔可夫链运动.Dumas（l993a,1993b）应用汇率目标区模型对外汇期权定价,他用一个泊松过程描述在汇率目标区中心平价的跳跃过程.Siu（2006）研究了双因子马尔可夫调制随机波动模型下的汇率动态过程的期权定价.第一个随机波动部分由对数正态分布过程驱动,第二个独立随机波动部分由连续有限状态马尔可夫链模型驱动.马尔可夫链的状态可以解释为一个经济状态.对不完全市场环境的外汇期权定价用体制转换决定鞅定价方法.Bollen（2003）比较了外汇期权定价的体制转换模型、GARCH模型和跳跃扩散模型三个模型,发现在样本内外比固定微笑模型有显著提高,跳跃扩散模型最紧密,时间变化微笑模型的套期保值效果并不差于其他模型. 二、基于数值法和非参数定价方法
（ 一 ）数值法 Bolye（1977）最先将蒙特卡罗模拟方法引入到期权定价中以来.此后,许多学者提出了复杂期权相应的蒙特卡罗解决方法.Grant和Vora等人（1994）提出蒙特卡罗法求解路径依赖期权价值,Longstaff和Schwartz（2001）用最小二乘法估计期权的条件预期收益,然后再用蒙特卡罗模拟方法可以直接对期权定价,这种方法又称为最小平方蒙特卡罗模拟方法（简记为L）.Chaudhary（2005）将拟随机序列和布朗桥公式应用到L方法,形成最小平方拟蒙特卡罗模拟方法.但蒙特卡罗模拟方法也存在许多不足,如收敛速度比较慢,需要进行很多的模拟次数；对具有后向迭代搜索特征的美式衍生产品的价值估计存在着一定的困难.目前蒙特卡罗技术的研究围绕完善与发展模拟估计误差减少技术和扩大蒙特卡罗模拟的应用范围两个方向改进.蒙特卡罗模拟方法广泛应用于复杂的衍生品证券定价问题.期权定价通常采用二叉树法和三叉树的树图方法.二叉树法在高级宏、微观经济学中也被称为随机游走模型,是股票漂移方程的分析基础和背景,而Black-Scholes定价模型又以股票漂移方程为数学基础.二叉树模型、随机游走模型和股票漂移方程三者之间有着紧密联系,表面上表达形式有所不同,本质没区别.
（ 二 ）非参数定价方法 参数模型只描述理论期权与输入变量之间的静态非线性关系,不能反映市场情况的快速变化,因此一些期权数据的定价结果并不理想.非参数方法由于其自适应性强和在数据生成过程中结构变换快速反应能力而得到发展.国内外学者开始关注和研究非参数定价模型如神经网络的期权定价模型.神经网络期权定价方法通过尽可能的检测设消除模型风险,利用输入变量之间的关系决定资产动态和定价过程,并且通过训练能够适应市场变化.Hutchison（1994）最早将神经网络模型引入到欧式期权的定价模型中,使用了RBF和BP神经网络.Andreou和Charalambous（2005）结合神经网络和带隐含参数的参数模型定价欧式期权.Tseng和Cheng（2005）的神经网络模型结合了EGARCH波动.EGARCH方法是把GARCH模型和GM（1,1）结合预测波动率,作为神经网络的一个输入.该模型能够捕获条件股票收益波动率的重要的非对称效应,降低误差项随机性和非线性.提升期权定价模型的预测能力.Yao和Li （2000）,Lin（2005）实证表明用神经网络模型化衍生证券定价效果好于传统期权定价模型.Wang（2007）结合神经网络和Fuzzy技术,对外汇期权定价.Zhang（2007）认为用期限结构方法定价利率衍生品存在系统偏差,提出基本函数方法结合经济理论（无套利期限结构方法）和模型非参数回归方法.该方法在实际和模型之间的残差,增加一个偏差修正项提高定价.Vapnik（1995）在统计学习理论基础上提出的支持向量机（SVM）是继神经网络之后机器学习理论研究的又一热点.支持向量机分为支持向量分类和支持向量回归（SVR）.支持向量回归建立在严密的统计学习理论基础上,较好的解决了以外许多学习方法中小样本、非线性和高维数等实际难题,克服了神经网络等学习方法中网络结构难以确定、收敛速度慢、局部极小点等不足.Xun（2009）用支持向量回归方法对期权进行估值,采用的是逐级法（Cascade Method）.这种方法有两个步骤,先利用传统方法初始化,该文采用蒙特卡罗方法、二叉树方法和偏微分方程等传统参数方法分别估计期权价值,全面吸取这种方法的估值能力.然后建立支持向量回归模型,传统方法的期权估值作为支持向量回归模型的输入值.传统方法估计期权价值经过市场证明是有效的,通过逐级法,支持向量回归方法可以主要用于修正传统方法的估值效果.支持向量回归后新的估值精确度明显优于前几种期权定价方法.王平（2011）将参数方法与非参数方法相结合,基于支持向量回归和跳跃扩散模型构建新的外汇期权定价模型.
三、结论与启示
根据国内外的外汇期权及其结构性产品的衍生品资产定价模型综述可知,定价方法可以分为参数方法、数值法和非参数方法.西方发达资本市场对期权定价的研究,经过四十多年的不断完善,已经相当深入,无论在理论上,还是实证上,都取得了大量研究成果.我国学者在外汇期权定价问题上也展开了多方面研究,并取得一些进展.然而,现有研究并非已经完美,还存在着诸多不尽人意的地方.总的看,现有研究主要存在以下方面不足：（1）外汇期权定价的研究主要集中在参数方法上.近几年来,现有研究基本上都是把所有约束条件放在一起同时考虑,然后给出一个最终定价结果.期权定价条件越来越多,使用的偏微分方法的越来越复杂,这些方法需要较为高级的数学知识,分析建模并不容易,显然难以被中国投资者群体普遍接受.另一方面是应用各种数值法如有限差分法和有限元法等进行求解外汇期权,在信息瞬息万变的当前时代,其计算效率尚需进一步提高.（2）非参数期权定价方法具有较强的自适应性,在数据处理过程中能快速对结构性转变做出反应.非参数方法在定价衍生证券时非常灵活,计算简单,估值精确度较高,近年来非参数法的期权定价方法在理论界备受青睐.但是很多非参数期权定价方法需要大量标的资产的历史数据,忽略了资产里许多有价值的信息（Walker和Haley, 2009）.无论参数方法还是非参数方法,都存在着各自的优势与劣势.如果将参数方法与非参数方法结合,不失为一种有效的途径.Vapnik（1995）在统计学习理论基础上提出的支持向量机（SVM）是继神经网络之后机器学习理论研究的又一热点.由于汇率的跳跃扩散过程较为明显,本文尝试建立跳跃扩散下外汇期权定价的支持向量回归模型,根据汇率波动特点,选择合适的波动模型估计汇率波动率,结合参数方法与非参数方法各自优势,提高外汇期权估价的准确度.（3）蒙特卡罗模拟等数值方法广泛应用于结构性产品的定价,但定价效率不高.现有蒙特卡罗模拟方法围绕完善与发展模拟估计误差减少技术和扩大蒙特卡罗模拟的应用范围两个方向改进.实际上,蒙特卡罗模拟法的定价效率不高可能与资产未来模拟的趋势与实际差别太大有关.如何资产未来模拟与现实资产波动更接近,定价准确度会有所提高. *本文受上海高校优秀青年教师培养计划资助项目（项目编号：1-11-36-shlx012-01）及上海市教委重点学科“会计学”（项目编号：J51701）资助
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（ 编辑 聂慧丽 ）