本站原创多变量题如果能利用题设的相关条件,应用整体思想换元,将多元问题转化成一元、二元问题,那么解题便可一气呵成.
例1 已知正数a,b,c满足：5c-3a≤b≤4c-a,cln b≥a+cln c,则的取值范围是 .
解 由已知条件可得5
-3≤
≤4
-1,
ln
≥
,
a>0,b>0,c>0.
令y等于,x等于,则等于.于是上述不等式组转化为5x-3≤y≤4x-1,
ln
≥
,
x>0,y>0,即y≥5x-3,
y≤4x-1,
y≥xe
,
x>0,y>0.
如右图,分别画出各不等式表示的可行域.函数y等于xe在[0,+∞）上的导数y′等于e+xe（-）等于e.当0
由图可知,在直线y等于5x-3与y等于4x-1的交点处,y取最大值7.
综上可知,e≤y≤7,即的取值范围是[e,7].
抓住研究对象,利用题设消去参变量,将多元问题转化为熟悉的一元、二元问题,是多元问题的常规处理方法.
例2 设1等于a1≤a2≤等≤a7,其中a1,a3,a5,a7成公比为q的等比数列,a2,a4,a6成公差为1的等差数列,则q的最小值为 .
解 由题意知1等于a1≤a2≤q≤a2+1≤q2≤a2+2≤q3.由q≥a2,要求q的最小值,只需求a2的最小值.而a2的最小值为1,所以有q≥1,
q2≥2,
q3≥3,可得q≥.
所以,q的最小值为.
利用表达式自身表示的特殊几何意义,数形结合求解.
例3 记F（x,y）等于（x-y）2+（+）2（y≠0）,则F（x,y）的最小值为 .
（解法1）从形式上讲,F（x,y）表示两点A（x,）和B（y,-）之间距离的平方.而点A（x,）是直线y等于上的动点,点B（y,-）是曲线y等于-上的动点.由导数知识和对称性数形结合,可知F（x,y）的最小值为.
当一个表达式中有多个变量无法消元时,我们可以将其中一个变量看成主元,其余变量看成常量逐步处理.
例3 （解法2）可以首先把F（x,y）中的x看成变量,y看成常量,知F（x,y）等于+（-2y）x+y2+是关于x的二次函数,最小值为 f（y）等于++.再把y看成变量,利用基本不等式求出F（x,y）的最小值为.
利用基本不等式求最值.
例4 已知点D是面积为1的△ABC的边AB的中点,点E是边AC上的任意一点,连接DE,点F为线段DE上的一点,连接BF,设等于λ1,等于λ2,且λ1+λ2等于,记△BDF的面积为S等于 f（λ1,λ2）,则S的最大值为 .
解 S等于 f（λ1,λ2）等于λ1λ2≤（）2等于,当且仅当λ1等于λ2等于时等号成立.
所以S的最大值为.
通过配凑完全平方式来解题.
例5 设a>b>c>0,则2a2++-10ac+25c2的最小值为 .
解 通过观察发现a2-10ac+25c2等于（a-5c）2,而+等于≥（）2等于,故2a2++-10ac+25c2≥a2++（a-5c）2≥4+（a-5c）2≥4,当且仅当b等于a-b,
a等于5c,
a2等于
,即a等于,b等于,c等于时,所求的最小值为4.
（责任编校冯琪）