本站原创如图,正三角形ABC的边长为3+.
（1）如图①,正方形EFPN的顶点E、F在边AB上,顶点N在边AC上.在正三角形ABC及其内部,以A为位似中心,作正方形EFPN的位似正方形E′F′P′N′,且使正方形E′F′P′N′的面积最大（不要求写作法）；
（2）求（1）中作出的正方形E′F′P′N′的边长；
（3）如图②,在正三角形ABC中放入正方形DEMN和正方形EFPH,使得DE、EF在边AB上,点P、N分别在边CB、CA上,求这两个正方形面积和的最大值及最小值,并说明理由.
原解：（1）如图①,正方形E′F′P′N′即为所求.
（2）设正方形E′F′P′N′的边长为x.
∵△ABC为正三角形,
∴AE′等于BF′等于x.
∴x+x等于3+.
∴x等于,即x等于3-3.（没有分母有理化也对,x≈2.20也正确）
（3）如图②,连接EP、PN,则∠NEP等于90°.
设正方形DEMN、正方形EFPH的边长分别为m、n（m≥n）,它们的面积和为S,则NE等于m,PE等于n.
∴PN2等于NE2+PE2等于2m2+2n2等于2（m2+n2）.
∴S等于m2+n2等于PN2.
延长PH交ND于点G,则PG⊥ND.
在Rt△PGN中,PN2等于PG2+GN2等于（m+n）2+（m-n）2.
∵m+m+n+,即m+n等于3.
∴）当（m-n）2等于0时,即m等于n时,S最小.
∴S最小等于×32等于.
）当（m-n）2最大时,S最大.
即当m最大且n最小时,S最大.
∵m+n等于3,由（2）知,m最大等于3-3.
∴n最小等于3-m最大等于3-（3-3）等于6-3.
∴S最大等于[9+（m最大-n最小）2]等于[9+（3-3-6+3）2]等于99-54.
在陕西省的压轴题的解答中,笔者发现各种版本的资料和《2013中考说明》都用上述办法解答了该问题,但在教学实践中,笔者发现学生普遍对上述（3）的解法感到难以理解,绝大部分学生想不到该方法.因此,笔者和学生根据问题中的条件,尝试建立二次函数这一数学模型,利用学生熟悉的二次函数知识较容易地解决了该问题.在探究过程中,学生多思、善疑、严谨、细致的良好学习品质得到充分体现和提升.（具体解法如下）
解：（3）如图③,设正方形EFPH、正方形DEMN的边长分别为x、y,它们的面积和为S,
则PF等于EF等于x,ND等于DE等于y,
在Rt△PFB中,∠B等于60°,BF等于等于x.
同理：AD等于y.
∵AD+DE+EF+BF等于AB等于3+.
∴x+x+y+y等于3+.
∴x+y等于3即y等于3-x.
∴S等于x2+（3-x）2.
即S等于2x2-6x+9.
此抛物线的顶点坐标为（,）.
由（2）知：x与y的最大值均为3-3.
∵x+y等于3.
∴x等于3-y最大等于3-（3-3）等于6-3.
∴6-3≤x≤3-3.
当x等于时,S最小等于.
当x等于3-3或6-3时,S最大等于（3-3）2+（6-3）2等于99-54.
因此,这两个正方形面积和的最大值为99-54,最小值为.
（作者单位：陕西省渭南市临渭区三马路初中）