本站原创我们知道,所谓三角变换,就是依据三角公式“变角、变名、变结构”.有道是“戏法人人会变,就看你怎么变”,让我们一起来探讨.
【例】 求sin210°+cos240°+sin10°cos40°的值.
【分析】 本例属非特殊角三角函数求值问题,一般可通过“变角”变出特殊角,或通过改变式子结构,利用整体思想求值.
【解析】 解法1：因为40°等于30°+10°,于是
原式等于sin210°+cos2（30°+10°）+sin10°cos（30°+10°）等于sin210°+（312cos10°-112sin10°）2+sin10°·（312cos10°-112sin10°）等于314（sin210°+cos210°）等于314.
解法2：令sin10°等于a+b,cos40°等于a-b,则
a等于112（sin10°+cos40°）等于112（sin10°+sin50°）等于sin30°cos20°等于112cos20°,
b等于112（sin10°-cos40°）等于112（sin10°-sin50°）等于cos30°sin（-20°）等于-312sin20°.
原式等于（a+b）2+（a-b）2+（a+b）（a-b）等于3a2+b2等于314cos220°+314sin220°等于314.
解法3：设x等于sin210°+cos240°+sin10°cos40°,y等于cos210°+sin240°+cos10°sin40°,则
x+y等于1+1+sin10°cos40°+cos10°sin40°等于2+sin50°等于2+cos40°,
x-y等于cos80°-cos20°-112等于-sin50°-112等于-cos40°-112,
因此,2x等于312,x等于314.
【点评】 解法1通过对该题中两个角的特点分析,巧妙地避开了和差化积与积化和差公式.当然运用降次、和积互化也是一般方法.解法2运用方程的方法,将三角问题代数化处理,解法新颖别致,不拘一格,体现了数学的内在美.解法3利用正余弦函数的互余对偶,构造对偶式,组成方程组,解法简明.
三种解法,奥妙无穷.你能根据以上解法,解决下列问题吗?
【变式1】 求cos273°+cos247°+cos47°cos73°的值；
【分析】 虽然本题给出的式子与例题相比,函数名发生了变化,但式子结构相同,故与例题的解法相似,下面模仿解法1来解.
【解析】 因为47°等于120°-73°,于是原式等于cos273°+cos2（120°-73°）+cos73°cos（120°-73°）
等于cos273°+（-112cos73°+312sin73°）2+cos73°·（-112cos73°+312sin73°）
等于314（sin273°+cos273°）等于314.
【变式2】 求sin2α+cos2（α+60°）+3sinαcos（α+60°）的值；
【分析】 本题的结构与例题完全一致,不同的是角成了参数,但两角之差依然是特殊角,故与例题的解法仍相似,下面模仿解法3来解.
【解析】 设x等于sin2α+cos2（α+60°）+3sinαcos（α+60°）,
y等于cos2α+sin2（α+60°）+3cosαsin（α+60°）,则
x+y等于1+1+3sinαcos（α+60°）+3cosαsin（α+60°）等于2+3sin（2α+60°）等于2+312sin2α+312cos2α,
x-y等于-cos2α+cos（2α+120°）+3sin（-60°）等于-cos2α-112cos2α-312sin2α-312
等于-312cos2α-312sin2α-312,
两式相加得,2x等于112x等于114.
【变式3】 若x+y等于2kπ+π13（k∈Z）,则sin2x+sin2y+sinxsiny为定值314；
【分析】 本题式子的结构与例题相似,而两角之和是定值,又是特殊角,因此仍可尝试第三种解法,即构造对偶式来证明.
【证明】 令a等于sin2x+sin2y+sinxsiny,b等于cos2x+cos2y+cosxcosy,则
a+b等于2+cos（x-y）（1）,
a-b等于-cos2x-cos2y-cos（x+y）等于-2cos（x+y）cos（x-y）-cos（x+y）,
又x+y等于2kπ+π13（k∈Z）,故cos（x+y）等于112,
所以a-b等于-cos（x-y）-112（2）,
于是,（1）+（2）得2a等于312,故a等于314,即sin2x+sin2y+sinxsiny为定值314.
【变式4】 求证：不论α,β取何值,sin2αsin2β+cos2αcos2β-112cos2αcos2β总为定值.
【分析】 本题所给式子的结构似乎与变式3相似,其实“失之毫厘,差以千里”.解答本题我们必须“另起炉灶”,但三角变换不外乎“三变”：变角、变名、变结构.观察本题可见,有角的二倍关系,可考虑应用倍角公式；有幂次关系,可考虑降幂；函数名称有正弦、余弦,可异名化同名等等.
【解析】 解法1：（从“角”入手,复角化单角）
原式等于sin2α·sin2β+cos2α·cos2β-112·（2cos2α-1）（2cos2β-1）
等于sin2α·sin2β+cos2α·cos2β-112·（4cos2α·cos2β-2cos2α-2cos2β+1） 等于sin2α·sin2β-cos2α·cos2β+cos2α+cos2β-112
等于sin2α·sin2β+cos2α·sin2β+cos2β-112
等于sin2β+cos2β-112等于1-112等于112.
解法2：（从“名”入手,异名化同名）
原式等于sin2α·sin2β+（1-sin2α）·cos2β-112cos2α·cos2β
等于cos2β-sin2α（cos2β-sin2β）-112cos2α·cos2β
等于cos2β-cos2β·（sin2α+112cos2α）
等于1+cos2β12-cos2β[sin2α+112 （1-2sin2α）]
等于1+cos2β12-112cos2β等于112.
解法3：（从“幂”入手,利用降幂公式先降次）
原式等于1-cos2α12·1-cos2β12+1+cos2α12·1+cos2β12-112cos2α·cos2β
等于114（1+cos2α·cos2β-cos2α-cos2β）+114（1+cos2α·cos2β+cos2α+cos2β）-112·cos2α·cos2β
等于114+114等于112.
解法4：（从“形”入手,利用配方法,先对二次项配方）
原式等于（sinα·sinβ-cosα·cosβ）2+2sinα·sinβ·cosα·cosβ-112cos2α·cos2β
等于cos2（α+β）+112sin2α·sin2β-112cos2α·cos2β
等于cos2（α+β）-112cos（2α+2β）
等于cos2（α+β）-112·[2cos2（α+β）-1]等于112.
【评注】 对一个题目的解题方法,由于侧重角度不同,出发点不同,化简的方法也不唯一.对于三角函数式化简的目标是：1.次数尽可能低；2.角尽可能少；3.三角函数名称尽可能统一；4.项数尽可能少.
（作者：王佩其,江苏省太仓高级中学）
（上接第39页）
性质.事实上,由题设知b>a,于是∠B>∠A,显然∠A等于150°是不可能的.
正解：由余弦定理,得c2等于a2+b2-2abcos15°
等于4+8-2×2×22×6+214等于8-43.
∴c等于6-2.
又由正弦定理,得sinA等于asinC1c等于112.因b>a时,∠B>∠A且0°<∠A<180°,
∴∠A等于30°.
误区警示：在解三角形时,我们应注意是否满足三角形的有关性质,如“大边对大角”、“三角形两边之和大于第三边”、三角形的内角和定理等,需格外关注各条件之间的制约性.