本站原创摘 要：以2014年深圳数学中考第23题为例,给出证明过程,结合近五年的深圳数学中考压轴题,从命题方向、难易程度、解题策略方面剖析抛物线在深圳中考压轴题中的命题特点,最后给出压轴题中的抛物线平移的思路点拨.
关 键 词 ：抛物线；平移；中考
从初中知识体系可以看出,加深对函数的理解对学好函数后续知识十分有帮助.二次函数又是函数中最重要的函数,学习时要对二次函数的性质和图象能够达到灵活运用的程度.二次函数的图象抛物线的平移,是考点又是难点.我们从2014年深圳数学中考压轴题来分析中考有关抛物线的命题特点.
【考题分析】
2014年深圳中考第23题.如图1,直线AB的解析式为y等于2x+4,交x轴于点A,交y轴于点B,以A为顶点的抛物线交直线AB于点D,交y轴负半轴于点C（0,-4）,
（1）求抛物线解析式；
（2）将抛物线顶点沿着直线AB平移,此时顶点记为E,与y轴的交点记为F,求当△BEF与△BAO相似时,E点坐标；
（3）记平移后抛物线与AB另一个交点为G,则S△BFG与S△ACD是否存在8倍的关系,若有,写出F点坐标.
解：（1）由A（-2,0）可以设抛物线为y等于a（x+2）2,代入点C（0,-4）,
可得a等于-1；所以,y等于-（x+2）2；
分析：这一小题主要考查二次函数抛物线的概念,难度不大,一般学生都可以拿到分.
（2）方法1：如图2设E（m,2m+4）是直线y等于2x+4上一点,则平移后顶点为E的抛物线为：y等于-（x-m）2+2m+4,则F（0,-m2+2m+4）若∠BEF等于∠B0A等于90°,又∠FBE等于∠ABO,∴△FBE≌ABO
又E为抛物线的顶点,因此点F在点E的下方,△BEF与 △BOA相似的情况只有一种,且m<0；又B（0,4）
∴BE等于 等于 等于
∴BE等于- m（m<0）
BF等于yB-yF等于4-（-m2+2m+4）等于m2-2m
∵OA等于2,OB等于4
∴AB等于 等于2
又 等于
∴ 等于
解得m等于0（舍去）,m等于-
∴E（- ,3）
解析：利用两三角形相似,对应角相等,所以△BEF为Rt△.再利用勾股定理可以得到E点坐标.难点在于抛物线平移后点E、点F的表示.
（2）方法2：如图3若∠BEF等于∠B0A等于90°,又∠FBE等于∠ABO,
∴△FBE≌ABO
过E作EN⊥y轴交y轴于点N.∵抛物线y等于-（x+2）2平移后的图象形状与y等于-x2相同,设EN等于a,则NF等于a2
又∵∠FEN+∠EFN等于90°,∠EBF+∠EFN等于90°,
∴∠FEN等于∠EBF
∵tan∠EBF等于tan∠ABO等于 ∴ 等于 ,∴a等于 ∴E（- ,3）
解析：利用两三角形相似,对应角相等,所以△BEF为Rt△.再利用射影定理可以得到EN与FN的关系,结合抛物线平移后EN、FN关系不变可以得到E点坐标.
（3）由y等于-（x+2）2y等于2x+4,得x1等于-2y1等于0或x2等于-4y2等于-4
∵A（-2,0）∴D（-4,-4）又C（0,-4）∴S△ACD等于 ×4×4等于8
∵S△EFG与S△ACD存在8倍的关系,∴S△EFG等于1或64
S△EFG等于S△BFG-S△BFE等于 BFxG- BFxE等于 BF（xG-xE）
∵点E、点G由点A、点D平移得到,
∴xG-xE等于xD-xA等于2
∴S△EFG等于 BF（xG-xE）等于 BF2等于BF
∴BF等于1或64
∵B（0,4）∴F1（0,3）或F2（0,5）或F3（0,60）或F4（0,68）
解析：求三角形的面积倍分关系,应注意分类讨论.平移问题应注意平移前后变与不变的量.问题就变得简单了.
【命题方向】
2010年考查抛物线与面积倍分关系；
2011年考查了抛物线上的动点相似问题；
2012年考查的是抛物线上的定点相似问题；
2013年考查的是抛物线与圆结合的定值问题；
2014年考查的抛物线平移后的相似问题及面积倍分问题.
纵观近5年的深圳数学中考压轴题,我们可以看到,中考压轴题一般在大题下都有两至三个小题.
【难易程度】
第（1）题难易程度：☆☆☆
知识要求：多数与坐标相关、利用数形结合思想,求抛物线的解析式.
得分情况：大部分学生都能拿到分.
第（2）题难易程度：★★
知识要求：多数与三角形、圆相关,利用转化思想,求相似、全等、或者面积.
得分情况：拿到分的学生不多.
第（3）题难易程度：★★★★
知识要求：综合多个知识点,会利用转化思想及一般―特殊、特殊― 一般的方法.
得分情况：几乎没多少人拿到分的.
【解题策略】
第（1）题的分数一定要拿到,策略：全力以赴
第（2）题的分数要力争拿到,策略：全力以赴
第（3）题的分数要争取得到,策略：量力而行
【思路点拨】
一般来说,中考压轴题都有一定的难度,因此,如何指导学生会做一题,且能举一反三、触类旁通,是我们教师需要面对的重要课题.笔者认为教师应在讲解的基础上,教会学生归纳每一题的总体思路,然后再引导学生对题目进行拓展与延伸,从而提高学生的解题能力.压轴题,一般综合多个知识点,任何一个数学问题的解决都离不开转换的思想,初中数学中的转换大体包括由已知向未知、由复杂向简单的转换,而作为中考压轴题,更注意不同知识之间的联系与转换,一道中考压轴题一般是融代数、几何于一体的综合试题,转换的思路更要得到充分的应用.中考压轴题所考查的并非孤立的知识点,也并非个别的思想方法,它是对考生综合能力的一个全面考查,所涉及的知识面广,所使用的数学思想方法也较全面.
一般涉及定抛物线的问题,那么考抛物线的知识点一般只考抛物线的概念,运用抛物线与图形结合,关键在于分析图形,只要分析好图形,再结合抛物线的函数,问题也可以迎刃而解.如果涉及抛物线平移与图形结合,分析好图形后,还应注意抛物线平移前后变与不变的关系,抛物线的平移后位置变化了,但是形状不变,这是抛物线平移最本质的地方,可以先分析抛物线平移前哪些量是不变的,再分析平移后位置变化了该怎么表示.像2014年这道深圳数学中考压轴题,第（2）问中的方法1,就是利用平移后位置改变,先求出平移后的解析式,再得到点的坐标及线段长,利用勾股定理得到.而第（2）问中的方法2,利用的是平移前后的形状不变,得到边与边的关系,利用射影定理得到.我们比较可以看出,第2种方法可能比较难理解,但是写起来比较简单,省了不少时间.第（3）问中的方法,是利用平移前后形状不变,得到边与边的关系.当然,第（3）问中,也可以利用平移后位置改变,先求出平移后的解析式得到,笔者认为这没有利用形状不变解题简单,就没给出证明了.
作者简介：李林钟,女,1982年7月出生,理学硕士,就职于深圳燕山学校,研究方向：复分析.