本站原创一、教学思路
考虑到新的数学课程标准以及当前复数知识学习内容的调整,这一章节的学习目标应该主要定位在以下两个方面：一是让学生体验科学的探索和发展过程,感悟数学发展的系统性、完整性、相关性及和谐性,作为整个高中数学学习的最后一个章节,它也起到了画龙点睛的功效；二是通过数系的扩充以及它的几何意义,让学生品味数学的文化内涵,从而培育和提升他们的人文素养.因此,我认为这一章节的学习其人文价值大于具体的解题技巧和方法.
二、教学过程
1.温故设疑,突破传统束缚.
问题1：实数系是如何构建并发展的?请你说说它们形成和扩充的成因.
生1：数的概念来源于生活,为了计数的需要产生了自然数（他还介绍了十进制的起因）；为了表示相反意义的两个数,有了负数；又为了解决分配中产生的问题,有了分数；再为了度量的需要（如边长为1米的正方形它的对角线的长度是多少）,产生了无理数,这样便有了整个的实数系.
生2：数的概念的发展一方面是生产生活的需要,另一方面也是数学本身发展的需要,例如对以下方程的求解：
方程x+2等于1在自然数N内无解,引入了负数,其在整数集Z内便有解；
方程2x+2等于5在整数Z内无解,引入了分数,其在有理数集Q内便有解；
方程x2+2等于5在有理数Q内无解,引入了无理数,其在实数集R内便有解.
由此我们可以看到数的发展的因由和过程与数学问题的研究本身息息相关.
师：非常好!从数的发展过程我们可以感悟到,数是客观存在的,也是人类智慧的结晶,它既是发现的,也是发明的.在这个过程中,每当遇到新的似乎不可逾越的问题和障碍时,人类的聪明之处就在于他们会引入新的符号,开辟新的方向,从而带来新的突破,进入新的研究领域.比如当为了表示相反意义的数时,我们引进了负号“-”；当两 师：很好!你的质疑是有道理的.我们知道实数之间有运算法则,那么这些运算法则在添加了i这一新的元素之后在复数域上是否仍然有效呢?这也是我们在下一节课将重点研究的.
【评注：从以上的讨论中可见学生的创造和探索能力是巨大的,他们没有受条条框框的限制,只要给他们充足的时间和空间,多一些思维的交流和碰撞,学生就会给我们太多太多的惊喜.因此,我在课堂教学中始终有这样的想法：做学问,要学“问”,光会学,非“学问”.并努力践行之.】
4.余音袅绕,留有思考余地.
师：这节课学习的内容及收获,请同学们交流一下.
生5：引进了虚数单位,从而将实数集扩充到复数域.我在这里用集合的文恩图形象地将它们表示了出来（上黑板板书,如图2所示）.
师：很好!同学们一起来观察一下,这个图形像什么?
生6：非常像一棵大树的年轮,岁月沧桑,不断外延,很有诗情画意的.
生7：通过这一课的学习我进一步了解到数学知识之间是相互联系相互迁移相互渗透的,比如对复数问题的研究,我们要善于分类,善于化归,善于数形结合,这些基本的数学思想方法我们要好好体会和把握,很有用也很给力.
生8：我还想知道虚数到底有什么用处?我怎么还是觉得虚数有点虚无缥缈,它的应用广泛吗?
等
学生们的问题一个接一个,他们的归纳也相当有特点.其实在一节课的最后留5分钟让学生自己来提炼小结,这既是一节课内容的回顾复习,也是知识有效的浓缩和升华.5分钟很快就过去了,学生意犹未尽,教师留有余地,整节课的教学画龙点睛.
【评注：从人文意义上看,科学作为探索真理的过程,造就了一种人文化的品格和气质,一种富有责任感和事业心的人文精神――不懈地探索真理,勇于坚持真理,为真理而献身.它包含尊重事实、实事求是的求实精神,勇于怀疑、自我否定的批判精神,勇于创新、超越现状的创造精神等,所有这些如果通过教育活动内化为学生的个性品格,成为他们今后的行为规范与价值取向的话,这才真正达到了数学教育的目的.】
三、教学思考
科学在本质上是一种充满人类理想和的、与人类自身发展息息相关的社会实践活动,它代表了一种最根本的人文精神.从人类价值追求的目标来看,科学其实不仅仅是一种技术手段,而且是人类最高价值追求――“真、善、美”的一种载体,这也正是我们的教育一再强调的人文素养和价值.在数学教学中将科学与人文割裂开来显然是短见行为,当然也是不可行的.人文精神实质上是对人的价值肯定,把数学作为一种文化而不仅仅是一种知识或技术来教的话,就可以真正体现它的整体价值,即“人力价值”与“人性价值”的统一.因此,在教学中就必须重视数学的整体价值,把它当做―种独特的精神文化来教,既传授知识,又必须涵盖科学方法,更要突出科学文化精神的传播与养成.如果说当前的数学教育中,数学方法和解题能力的传授还算比较充分的话,那么科学精神、科学思想和科学态度的教育就相形见绌了.因此、国务院颁发的《关于加强科学技术普及工作的若干意见》提出：“在继续做好科学知识与运用技术普及宣传的同时,要特别重视科学思想的教育与科学方法的传播.”这是很有针对性的.因此我们的数学教学必须打破急功近利的应试模式,代之以科学的人文精神.同时,数学教学内容本身也必须人文化.数学教育人文化,绝不是指数学与人文的简单相加,其内涵是指在新的教育思想指导下,促使它们相互整合,构成一个完整的有机整体.具体说来,有两个基本的要点：一是在价值取向上,数学教育要定向于人；二是在课程及教学上,沟通数学与人文的内在联系.
数学能教会我们什么?除了知识技能,更重要的是对事物本质的洞察力和理性思考的能力,这就是数学作为文化对人的发展乃至社会文明的影响.数学追求一种严谨,它的发展需要一种直观的支撑和启发,但也不能只凭直觉,更要在讲清道理上下功夫.理性精神被看成人类文明的核心所在,而数学对于人类理性精神的养成与发展有着特别重要的意义.著名数学家M.克莱因（Morris Kline）在《西方文化中的数学》中写道：“数学是一种精神,一种理性精神.正是这种精神激发、促进、鼓舞并驱使人类的思维得以运用到最完善的程度.”因此学习数学能够培养我们理性地思考问题的精神.尤其是概念的引入和讲解过程中,疑问、观察、思考、归纳、猜想、证明、应用等等,这一过程所用的数学思想方法正是科学态度和理性精神的体现.课堂教学是一门科学,也是一门艺术.教师要努力营造课堂中的文化氛围,积极提升数学教学过程中的文化品位.我们常讲数学的素养,包括四个层面,即数学意识、问题解决、逻辑推理和信息交流,其中最基本的是数学的观念、态度和通识.强化以上共识有两条基本途径：（1）结合教学,向学生介绍一些数学史料,古为今用,取精用弘,从中挖掘数学的文化内涵,提炼数学的文化价值.（2）讲解算法,更要讲清算理.算法是一门工具、一种手段,而算理则是一种观念,具有更多的人文精神.我时常在想,我们不可能奢望每一个学生都成为数学家,但可以提供一种数学文化,给他们留下更多的数学意识和素养,从中终身受益,这也是数学人文价值的体现.
数学不仅仅是一门工具,也是一种文化.学习一门学科,不知道它的历史概况,不熟悉那一门学科的前辈以及他们的功绩,那是不完善的.以史为鉴,这同时也是创设问题情境、活跃课堂气氛、丰富教学内容很好的素材.本节“数系的扩充”的起始课力求展示数学的发展历程和文化背景,将科学精神与人文精神的培养和谐地统一起来.
数学文化的传播和接受都需要一个积累沉淀的过程,不能急功近利,而要让学生充分体验.知识是不能现成地传递的,而要回到它的经验状态,通过学生的亲身体验实现转化.因此,本节课的教学力求成为学生的研究性学习活动,其一,通过自身活动所得到的知识与能力比起旁人硬塞给他的,理解上更透彻,掌握得更灵活,使用也更得心应手,还可以保持较长久的记忆；其二,发现是一种乐趣,因而通过“再创造”来进行学习,就更能引起学生的兴趣,让学生的学习具有更大的内驱力；其三,通过“再创造”方式可以进一步促进并加深人们对数学教育是一种人类文化活动的看法.学生不仅仅通过语言,而且通过完整地感知现实来学习,对学生来说这是一种新的活动,教一个活动的最好方法是演示,学一个活动的最好方法当然是去做.在这整个的研究活动过程中,学生处于创造意识积极向上的状态,在参与中感受到发现的乐趣和需要,也正如朱熹所说的,读书无疑者,须教有疑；有疑者,却要无疑,到这里方是长进.
（作者单位：江苏省苏州中学）